类群问题和数论运用

本项目主要研究数论的类群问题和运用数论知识来研究编码与密码。类群问题包含类群密度和类群结构。类群密度：1）研究Cohen-Lenstra猜想，即二次数域的类群p-秩的密度，2）Stevenhagen猜想，即实二次数域的基本单位的范为-1的密度。这些国际前沿问题是本课题组主攻方向，争取有所突破。类群结构：1）考虑相对扩张E/F的E和F的两个类群之间关系，2）寻找整体域F的非分歧的最大Kummer p次扩张，3) 计算一般数域Hilbert类域塔的长度。数论运用：1）研究时空码，寻找非范元条件，构造好的时空码；2）利用模n剩余类环中分圆类，构造好的非平衡的序列，计算此序列的线性复杂度和找出好的Codebooks，使其接近最大Welch界。

本项目主要运用代数数论的工具，例如，指数和，高斯和，分圆数等，研究代数编码。本项目的结果主要表现在如下三个方面.（1）利用离散傅里叶变换，高斯周期以及高斯和给出了有限域上不同阶元的循环码的重量分布和完全重量分布，得到了一些重量少的而且最优的循环码，其中文章：“Chengju Li, Qin Yue and Fengwei Li, Weight distributions of cyclic codes with respect to pairwise coprime order elements, Finite Fields and Their Applications, 28 (2014), 94–114”被SCI期刊引用14次（成为高引论文），文章“Chengju Li，Qin Yue，Weight Distributions of Two Classes of Cyclic Codes With Respect to Two Distinct Order Elements，IEEE Transactions on Information Theory，2014，60（1）：296-303”被SCI期刊引用11次，这些结果引起国际同行关注.（2）给出一类周期序列的线性复杂度计算方法，得到抽样序列的相关值分布，寻找了好的码本，使其几乎达到Welch上界和达到Levensterin界；（3）考虑了代数数论一些问题，给出一些实二次数域的基本单位形式。