实超对称张量正定性的判定研究

The positive definiteness of an even-order supersymmetric tensor A is equivalent to that of an even-degree homogeneous polynomial form f(x) defined by A, and plays an important role in the stability study of automatic control systems and polynomial optimization. When the order is larger than 4, it is not easy to identify its positive definiteness. In this research project, we study the positive definiteness of an even-order supersymmetric tensor, by the localization of eigenvalues of tensors, in order to obtain some inequalities or algorithms to identify the positive definiteness effectively.

实超对称张量是正定的等价于由其确定的多元偶次齐次多项式是正定的，其正定性在研究自动控制系统稳定性，优化等问题中有重要应用。然而当次数大于4时，判定其是否正定非常困难。本项目拟对实超对称张量的正定性进行研究，利用定位张量特征值的方法，以期得到实超对称张量，即多元偶次齐次多项式正定的判定不等式及实用的判定算法。

本项目总体上按照项目申请书的计划进行研究，完成了项目计划书所定的研究内容，达到了预期目标。 围绕实超对称张量的正定性问题，从（特殊）二阶张量（矩阵），及高阶张量的特征值估计与定位两个层面展开研究，取得了一系列重要的成果，共发表论文5篇，其中关于随机矩阵特征值的定位的论文2篇，非负矩阵谱半径的估计，M-矩阵最小特征值的估计各1篇，DB-张量及拟DB-张量的论文1篇。