基于离散时间正规鞅泛函的量子随机分析模型及其应用

Discrete-time normal martingales play an important role in many theoretical and applied fields. And their functionals also have rich analytic and algebraic structures. The project aims to construct a type of infinitely dimensional models of quantum stochastic calculus based on functionals of discrete-time normal martingales, develop the corresponding theries and methods and apply them to quantum dynamical semigroups and quantum information theory. The project strongly involves many research branches in mathematics and physics. Its most striking feature lies in the following observations. We will be devoting ourselves to constructing models with a discrete background, which will be suitable for direct computation by computor and describing peoblems with a discrete background.

离散时间正规鞅是一类重要的鞅，离散时间正规鞅的泛函亦具有丰富的分析和代数结构。本项目旨在构建基于离散时间正规鞅泛函的无穷维量子随机分析模型，发展相应的理论与方法，并着重研究它们在量子动力系统半群理论和量子信息理论中的应用。本项目的研究内容涉及数学和物理的众多分支，综合程度高、相互交叉性强。其突出特色在于：我们所要构建的量子随机分析模型是一种具有离散背景的模型，因而适合于通过计算机直接进行相关计算，同时也适合于描述和解决离散形式的应用问题。

离散时间正规鞅是一类重要而广泛的随机过程，本项目研究了此类鞅的泛函及其在量子动力系统半群理论和量子信息理论中的应用，主要进展包括：构建了一类离散时间正规鞅的广义泛函框架，发展了相应的理论与方法；研究了离散时间正规鞅的广义泛函框架（特别是Bernoulli噪声广义泛函框架）在量子动力系统半群理论中的应用，直接构造出了一类基于量子Bernoulli噪声的量子Markov半群，分析了其动力学性质；研究了一类基于量子Bernoulli噪声的随机Schrodinger方程，证明了此类方程具有与计数算子相关的正则解，并且该解具有平均意义下的保守性；构造出了基于Bernoulli噪声广义泛函框架的一类狄氏型；研究了离散时间正规鞅的广义泛函框架（特别是Bernoulli噪声广义泛函框架）在量子信息理论中的应用,构造了基于量子Bernoulli噪声且具有无穷多个自由度的量子游荡和开放量子游荡模型，展示了其不同于一般量子游荡的特性；其他相关研究成果。