复流形上Clifford值全纯函数及其相关算子的性质

Clifford-valued functions defined on complex manifolds can be treated as a section of the Clifford bundle on these manifolds. It is the expansion of the theory of classic holomorphic function and the geometric function theory of several complex variables to study the basic properties and geometric properties of these functions and relevant operators. This project covers:. 1. To reveal basic properties of holomorphic Clifford-valued functions defined on complex manifolds, Cauchy integral representation and other equivalent characterizations. . 2. To reveal the properties of corresponding Cauchy-type integral operators based on the above studies. Consequently, through the approximation theory of real and complex analysis, we are to study the iterative approximation of the integral operator in Clifford analysis and discuss the compactness, uniform boundedness and convergence theorem of holomorphic function spaces,. 3. To study the geometric properties of some special Clifford-valued functions on complex manifolds and then mainly focus on the cover theorem, the growth theorem and the deviation theorem of these functions.. This project can enrich Clifford analysis function theory and expand the geometric function theory of several complex variables. Thus, it contributes to both theoretical study and practice.

定义在复流形上的Clifford值函数可以看作是复流形上的Clifford丛的一个截面，研究这些函数的基本性质、几何性质及其相关算子的性质是经典全纯函数理论与多复变数几何函数论的推广. 本项目研究下面几个问题：. 1、研究定义在复流形上取值于Clifford代数空间上的全纯函数的基本性质、Cauchy积分表示及其等价刻画.. 2、在上述研究基础上讨论相对应的Cauchy型积分算子的性质，利用实、复分析中的逼近理论研究这些积分算子的迭代逼近问题并研究对应的全纯函数空间的列紧性、一致有界性以及收敛定理等.. 3、研究复流形上一些特殊的Clifford值函数的几何性质，得到这些函数的掩盖定理、增长定理和偏差定理等.. 本项目将丰富Clifford分析中的函数理论，推广多复变数的几何函数论的结果，有一定的理论和实际意义.

项目背景：定义在复流形上的 Clifford 值函数可以看作是复流形上 Clifford 丛的一个截面，研究这些函数及相关算子的性质是多复变数几何函数论及经典全纯函数理论的推广。 .主要研究内容：1、在 Clifford 代数框架中研究复流形上的正则函数、超正则函数及 k 正则函数的性质。 2、利用实分析及复分析中的逼近理论和方法解决与上述函数相关的积分算子的构造逼近问题，得到 Clifford 分析中一些算子的性质和迭代格式并研究其收敛性。 3、研究复流形上一些特殊 Clifford 值函数的几何性质，研究这些函数的掩盖定理、增长定理及偏差定理等。.重要结果：1、得到了一类复流形上的 Clifford 值全纯函数的基本性质和拟Cauchy型积分表示, 给出了与这类函数相对应的积分算子和奇异积分算子的性质。 2、得到了Clifford分析中的对偶k-hypergenic函数的Cauchy积分公式, 证明了hypergenic函数与Clifford Mobius变换的复合是一个加权的hypergenic函数。 3、给出了与超正则函数相关的T算子的性质，得到了一类方程的解的积分表达式并研究了解的性质，得到了几个奇异积分算子的有界性、Holder 连续性与它的广义导数。 4、研究了Clifford分析中一类广义Teodorescu算子的性质，得到了与α算子相关的Teodorescu算子、无界域上Cauchy型积分算子的一些性质。 5、解决了Clifford分析中双超正则函数和广义超正则函数的边值问题， 四元数分析中加权Dirac算子的Riemann边值问题与非齐次Cimmino方程组的混合边值问题， 给出了α加权K正则函数的积分表示及积分算子的性质。.关键数据： 1、给出了复流形上全纯的 Clifford 值函数的定义，找到了与其对应的 B-M 核以及积分算子，找到了复分析理论与 Clifford 分析的结合点。.2、在Clifford分析中给出了新的广义微分算子和积分算子，得到了α加权K正则函数的积分表示。. 科学意义：本项目将Clifford分析中的全纯函数理论和相关算子的性质发展到了复流形上， 研究了一些特殊函数的几何函数性质，丰富了多复变数的几何函数理论及Clifford分析理论。