四维局部齐性闭流形上的Ricci流

本项目拟研究四维局部齐性闭流形上的Ricci流，我们拟就三个问题展开研究：.（1） 四维局部齐性闭流形上的倒向Ricci流；.（2） 四维局部齐性闭流形上的正规化Ricci流；.（3） 四维局部齐性闭流形上的倒向正规化Ricci流。.针对不同类别的四维局部齐性闭流形我们将确定一些初始度量类，使得我们可以将它们对角化并且Ricci流可以保持度量对角化。通过分析由Ricci流所给出的ODE系统，详细刻画三种不同Ricci流的长时间行为并研究初始度量的一些性质能否被Ricci流保持下去。

在本项目中，我们考虑了四维局部齐性闭流形上的倒向Ricci 流和正向Ricci流。我们主要在带有平凡迷向群的齐性几何上进行考虑，这些齐性几何被记为A类，共包含10个子类。. 对于倒向Ricci流，我们对每类情形，先写出倒向Ricci流的方程， 然后研究了倒向Ricci流和倒向正规化Ricci流的长时间行为。我们发现与三维局部齐性流形不同，在三维局部齐性流形上倒向正规化Ricci流经过伸缩变换都会收敛到一个子黎曼几何， 而在四维时，只在U1[3], U3I0, U3S1类中，倒向正规化Ricci流经过适当的伸缩变化可以收敛到一个子黎曼几何。. 对于正向Ricci流，我们在每类中研究了拟收敛。在每类几何中，我们考虑了两种情形。第一种情形是，假定我们可以用同一个过渡矩阵来同时对角化两个不同的初始度量，然后比较发展度量。第二种情形是，假定我们可以用同一类型但带有不同元的过渡矩阵来对角化初始度量，然后再对比发展度量。我们在每一类中确定了拟收敛等价类的维数，并给出了在一些类中过渡矩阵中的元满足的条件。