某些两（多）分量微分方程的非线性波动力学研究

The contents to research in this project are the continuance and promotion of previous work. We plan to study the nonlinear wave solutions of some two(multi)-component differential equations from two aspects. On the one hand, by employing the qualitative theory of differential equations and the bifurcation theory of dynamical systems, we study the existence of nonlinear wave solutions, the bifurcations of nonlinear wave solutions and their dynamical behaviors of two(multi)-component differential equations, and analyze the reason causing these complex dynamical behaviors. On the other hand, by combining soliton theory, theory of integrable systems and related theory of partial differential equations, we construct abundant nonlinear wave solutions of two(multi)-component differential equations, especially multi-soliton solutions, multiple kink solutions, singular multi-soliton solutions and multi-peakons.

本项目拟研究的内容是前期工作的延续和提升。我们打算从两个方面来研究两（多）分量微分方程的非线性波解。一方面，利用微分方程定性理论和动力系统分支方法，研究两（多）分量微分方程的非线性波解的存在性、非线性波解的分支及其动力学行为，并分析这些复杂动力学行为产生的原因。另一方面，结合孤立子理论、可积系统理论和偏微分方程相关理论去构造两（多）分量微分方程丰富的非线性波解，尤其是多孤子解、多扭波解、奇异多孤子解和多孤立尖波解。

微分方程的非线性波及其动力学性质的研究一直都是当今数学物理的重要研究领域。本项目的研究成果由四部分组成，共发表12篇被SCI收录的论文。第一部分成果主要利用动力系统理论与分支方法研究了两分量的Zakharov-Ito系统、Fujimoto-Watanabe系列方程、广义的θ方程等的的非线性波解的存在性、非线性波解的分支及其动力学行为，发表SCI论文9篇。第二部分成果利用几何奇异摄动理论和Melnikov函数研究了奇异摄动Gardner方程的扭波解和反扭波解的存在性，发表SCI论文1篇。第三部分成果将动力系统理论与分支方法推广到时间空间分数阶微分方程的精确解的研究，发表SCI论文1篇。第四部分成果利用几何奇异摄动理论、奇异摄动理论和不变流形理论等研究离子通道问题中的离子流定性性质，发表SCI论文1篇。