常微分方程高性能块方法及其应用

Ordinary differential equations frequently appear in various fields such as the natural sciences, engineering and social sciences. This research project focuses on designing high order numerical methods for stiff or highly oscillatory initial value problems for ordinary differential equations without serious restriction on the step size. We will construct some functionally-fitted block methods for ordinary differential equations admitting an exponentially decaying or periodic or oscillatory solution, some exponential block methods for stiff or highly oscillatory large system of ordinary differential equations, two adiabatic Filon-type quadratures with waveform relaxation for highly oscillatory second order differential equations, functionally-fitted block methods for delay and neutral differential equations, and an exponential block integrator for singularly perturbed delay differential equations. The achievements of this research project would not only enrich the theory of numerical solution of ordinary differential equations, provide new ideas and new methods for many types of differential equations with delay term and integro-differential equations, but also have important theoretical significance and application prospects.

常微分方程在自然科学、工程技术和社会科学等诸学科中具有十分广泛的应用。本项目重点研究刚性和高振荡常微分方程初值问题高精度、大步长的计算方法及其应用，主要内容包括具有指数衰减、周期或震荡解的一阶和二阶常微分方程新的高精度函数拟合块方法，大型一阶刚性常微分系统的指数块方法，高振荡二阶常微分方程的指数块方法和绝热波形松弛Filon方法，时滞（中立型）微分方程的函数拟合块方法，以及奇异摄动时滞微分方程的指数块方法。本项目的研究成果将丰富和发展常微分方程的数值计算理论，为带有时滞的微分方程和积分微分方程等问题的数值计算提供新思路和新途径，具有十分重要的理论意义和潜在的应用价值。

常微分方程在自然科学、工程技术和社会科学等诸学科中具有广泛的应用。在研期间，课题组提出了刚性常微分方程的函数拟合和指数积分块方法以及混合Runge-Kutta方法，应用块方法的线性性理论获得了Runge-Kutta-Nyström求解二阶常微分方程的递推形式的阶条件，构造了高振荡一阶和二阶常微分方程的Adiabatic Filon-型方法和渐近数值方法，设计了时滞(中立型)微分代数方程的连续块方法并分析了绝对稳定性，给出了随机常微分方程的广义二步Maruyama方法和Milstein方法及其收敛性和稳定性分析。同时，项目的实施促进了课题组的国际和国内交流与合作，提高了研究生的科学研究水平。本项目取得的研究成果不仅丰富和发展了常微分方程的数值计算理论，并为求解随机常微分方程和具有时滞的微分代数方程提供了新的计算方法，具有重要的理论意义和应用前景。