格林函数及在非线性发展方程中的应用

本项目主要应用格林函数方法，结合微局部分析、调和分析等现代分析工具与能量方法等偏微分方程的研究工具对带耗散结构的非线性发展方程（主要是以流体力学和空气动力学中的基础方程为例）对以下三方面问题进行研究：1、基本波（如扩散波、激波、稀疏波）的稳定性问题，及扰动的大时间状态的逐点估计；2、高维情形下初边值问题，证明解的存在性并给出各类边界效应和解的精细结构；3、大扰动问题，着重考虑单个方程情形（包括一些有物理背景的拟微分方程-含分数阶导数算子方程），证明解的存在性并获得解的大时间状态，之后将该方法推广至具有特殊结构的方程组。这些都是物理界与数学界所关心的重要问题。另外，本项目所研究的问题从理论上说涉及到多空间维数、边值问题、大扰动问题，是公认困难的问题，现有结果不多，缺乏系统的研究方法。本项目的研究成果有望有效地推动偏微分方程理论的发展，有重要的理论价值。

本项目已取得了一些重要进展，主要研究结果如下：.1.非线性方程（组）小扰动解的逐点估计.考虑了带松弛项的单个守恒律方程、非线性带阻尼的波动方程、非线性带粘性的波动方程和非等熵Navier-Stokes-Poisson方程的Cauchy问题，建立了其小扰动解的逐点估计。我们还有一篇系统介绍上述工作的文章。该文系统地总结了Green函数方法在建立带耗散结构的非线性发展方程Cauchy问题解的逐点估计中的应用。.2.非线性发展方程大扰动初值问题的整体解及大时间状态估计.我们研究了大扰动解的整体存在性及大时间估计。首先研究了一般的Benjamin–Bona–Mahony–Burgers方程大解的整体存在性及相应的解的大时间状态估计。对带粘性项的单个守恒律研究其在粘性激波附近的大扰动解的逐点估计。在一定的初始条件下，我们证明了解以指数速度衰减。我们还考虑了一类辐射流模型，发现虽然其满足S-K条件，但对一般的初值，其大扰动解会爆破。并且，在加上部分小性后，得到了解的整体存在性。对于分数阶的Burgers方程，在周期情形下得到了大解的指数衰减估计。对于带分数阶耗散的守恒律方程，得到了解的最佳衰减估计。.3.粘性守恒律的初边值问题.我们考虑了半平面上带人工粘性守恒律方程组的粘性激波，首次给出了方程组初边值问题下粘性激波稳定性的结果。我们应用TC格式处理初边值问题。我们结合两种Green函数（常状态对应的初边值问题的Green函数和粘性激波对应的初值问题的Green函数），对边界导数给出了一个预先估计，并给出了初边值问题耗散波的定义，从而获得了解的逐点估计和非线性稳定性，对于耗散机制、边界和粘性激波这三种不同机制的相互作用有了较深刻的理解。.4. 非线性退化抛物方程整体解的适定性.考虑了带退化扩散项的守恒律方程的初边值问题，得到了经典解的整体存在性和指数衰减。另外，为研究退化粘性项的扩散机制，提出了一个方程的修改形式，并得到了这一修改形式Cauchy问题经典解的整体存在性和衰减估计。..5. 长短波方程以及分数阶偏微分方程解的存在性.我们系统地考虑了自治和非自治(1+1)维长短波方程和(2+1)维长短波方程的动力学行为。此外，我们还考虑了若干分数阶偏微分方程解的存在性和随机吸引子。