李群上的随机游动与Levy过程及应用

本项目主要研究李群与齐性空间上的随机游动与Lévy过程及其相关问题。主要包括下面几个方面：紧李群上随机游动谱矩阵的渐近估计、谱隙的存在性；非紧李群上随机游动与Lévy过程的极限性质及在调和分析、随机动力系统中的应用；欧氏空间的自相似过程及在李群作用下不变的Markov过程的结构与分解。这些问题的研究须综合运用随机游动、Markov过程、群表示论、调和分析、动力系统等领域的方法和技术，也可以借鉴随机矩阵与Diophantine逼近理论等的最新思想。其结果有助于概率论与李群上的几何、分析领域的相互交叉与发展。

本项目在执行期间主要取得如下成果：（１）得到了对称稳定过程与具有斜直积分解的迷向自相似马尔科夫过程在锥形区域上生存概率的渐近估计，证明了 Yaglom 极限的存在唯一性；（２）证明了梯度扰动下对称稳定过程鞅问题的适定性；（３）给出了梯度扰动下相对论稳定过程的热核与狄氏热核的精确估计；（４）证明了带漂移的临界分数阶拉普拉斯算子在光滑区域上的边界 Harnack 原理与格林函数的精确估计；（５）研究了一类由量子图诱导的随机酉矩阵的谱测度在弱收敛与几乎处处意义下的收敛性。