多项式自同构及单导子的结构研究

The theory about the structure of polynomial automorphisms is one of the essential contents of affine algebraic geometry, which is closely related to the important problems in commutative algebra and affine algebraic geometry. This project will focus on the structure of polynomial automorphisms and simple derivations and will divide into two parts. First, we use the theories of polynomial maps and tame polynomial automorphisms to study the structure of polynomial automorphisms. In this part, it will conclude: (1) The structure and finiteness about the group of polynomial automorphisms which fixed by simple derivations; (2) The sufficient and necessary conditions for a sequence of positive integers to be the multi-degrees of tame automorphisms and the existence of tame automorphisms of type II and III. Second, we use the theory of polynomial derivations to study the structure and properties of simple derivations. Combining the research of the structure of polynomial automorphisms, we make some research on the derivation's form of the Jacobian conjecture.

多项式自同构的结构研究是仿射代数几何中的一个基本内容，与交换代数及仿射代数几何中的许多重要问题密切相关。本项目的研究包括如下两大部分：（一）利用多项式映射及 tame 自同构的理论研究多项式自同构的结构，主要包括（1）在单导子作用下保持不动的多项式自同构群的结构及有限性的研究；（2）正整数列成为三元 tame 自同构多重次数的充要条件及II型，III型 tame 自同构存在性的研究。（二）利用多项式导子的理论研究多项式环上单导子的结构及性质，同时结合多项式自同构的结构研究，对雅克比猜想的导子形式进一步探究。

本项目的主要目的是研究在单导子作用下保持不动的多项式自同构群的结构及多项式导子的研究。同时研究多项式映射的结构及二维雅克比猜想的推广问题。. 研究得到的结论：在某些情形下证明了与单导子交换的多项式自同构群是平凡的。同时对于维数n>2的情形给出例子说明与某些单导子交换的多项式自同构群可以是无限群。实际上，我们证明了在某些条件下与单导子交换的多项式自同构群是 {x+c}，即由平移自同构组成的。其次，我们对一些多项式映射进行了分类：对雅克比矩阵幂零的且形如H=(H_1(x_1,x_2,...,x_n),H_2(x_1,x_2),...,H_n(x_1,x_2,H_1))的n元多项式映射进行了分类并对雅克比矩阵秩小于等于2的齐三次多项式映射进行了分类。同时给出形如D=y∂_x+(a_2 y^2+a_1 (x)y+a_0 (x))∂_y的导子是单的充要条件，并对二维雅克比猜想的推广问题给出反例。.