拉格朗日体系下多体动力学系统的保结构算法研究

保结构算法无论在提高计算精度还是在保持系统的不变量性质等方面都比传统的积分算法有优势，耗散多体动力学系统的保结构算法已得到广泛的关注，由于耗散系统几何结构的复杂性，针对其所有的几何性质开展保结构算法的研究十分困难。国内外关于Hamilton体系下的保结构算法已得到广泛应用，并取得了显著成绩，对耗散系统的研究也取得了一些进展。Lagrange体系是研究耗散系统的恰当形式体系，但对于Lagrange系统保结构算法的研究尚处于起步阶段。在这一领域尚没有一套系统的理论和方法。本项目拟研究Lagrange体系下多体动力学系统的建模、约化理论，研究保持原系统的对称性、动量、能量等定性性质的数值计算方法。重点考虑在Euler-Poincare体系下建立和发展一套统一的动力学偏微分方程（组）的保结构算法。并将其应用于求解典型的耗散系统动力学问题，研究其定性特征和渐近性质。

保结构算法无论在提高计算精度还是在保持系统的不变量性质等方面都比传统的积分算法有优势，耗散多体动力学系统的保结构算法已得到广泛的关注，由于耗散系统几何结构的复杂性，针对其所有的几何性质开展保结构算法的研究十分困难。国内外关于Hamilton体系下的保结构算法已得到广泛应用，并取得了显著成绩，对耗散系统的研究也取得了一些进展。Lagrange体系是研究耗散系统的恰当形式体系，但对于Lagrange系统保结构算法的研究尚处于起步阶段。在这一领域尚没有一套系统的理论和方法。本项目初步研究了Lagrange体系下多体动力学系统的模型约化问题，给出了保持原系统的对称性、动量、能量等定性性质的数值计算方法。基于对不同系统模型的适当分裂和约化提出了求解非线性动力学方程的变分方法、广义Runge-Kutta谱方法和一类改进的指数型Runge-Kutta方法。这些数值方法均能很好地保持原系统内禀的代数性质和几何特征，且计算精度高。并初步讨论了非完整Hamilton约束系统的李群积分方法。针对病态线性系统，推广经典的最速下降法给出一类保持其内在结构不变的数值计算方法，针对刚性系统也给出了一类显式积分方法。将保结构算法应用于求解几类两组分玻色-爱因斯坦凝聚体（BEC）系统动力学问题，研究了其动力学特征和渐近性质，并讨论了广义五阶KdV方程的对称性与局部守恒律。. 基于保结构的模型约化理论，研究了多组分玻色-爱因斯坦凝聚态问题的数值计算方法，并通过数值模拟深入研究了两组分BEC的基态属性。研究了自旋相关的光晶格势阱中旋转两组份BEC中的半涡旋片和畴壁链，得到了一个我们称之为直半涡旋片的稳定的涡旋结构,并研究了其成因，结合数值和解析两种方法研究了自旋相关的光晶格势阱中旋转两组份BEC系统的超流速的不连续性质。特别地，通过数值模拟研究了凝聚体自旋畴壁的相关性质及畴壁自旋格子与角速度的关系，揭示了其中涡旋个数、拓扑电荷数及角动量之间的联系，推广发展了著名的Feynman规则。这方面的工作发表在J. Phys. B，并被收入该杂志“2011 Highlights”。应用保结构算法讨论了哈密顿系统的稳定性问题，研究了二自由度哈密顿系统等势面、等势线与混沌之间的关系，提出了系统出现混沌的平均凸指标和凹比率判据。该方法简便易行，和经典的poincaré截面、几何判别法等判据的数值结果完全一致。