平均和概率框架下的多元函数逼近和恢复

The project deals with the approximation and recovery of multivariate functions in average and probabilistic case setting. This project contains two parts. First, we study the average and probabilistic Kolmogorov and linear widths on Sobolev space with common mixed smoothness with respect to a Gaussian measure in the $L_q$ metric for $1<q<\infty$, and obtain there asymptotic orders. Second, we study the average sampling numbers on the sphere with a Gaussian measure in the $L_q$ metric for $1\leq q\leq \infty$, and obtain there asymptotic orders. Moreover, we find out the asymptotically optimal operators in the average case setting.

本项目在平均框架和概率框架下研究多元函数类的逼近和恢复问题. 主要包括两个部分. 第一个部分研究带有Gauss测度的具有共同混合光滑性的Sobolev空间在$L_q(1<q<\infty)$尺度下的概率Kolmogorov宽度、平均Kolmogorov宽度、概率线性宽度和平均线性宽度的渐近阶. 第二个部分研究带有Gauss测度的球面上的Sobolev空间和各向异性的Sobolev空间中在$L_q(1<q<\infty)$尺度下的平均采样数的渐近阶，并找出平均框架下的最优算子.

项目的研究内容和背景：本项目研究Sobolev空间中函数类的逼近与恢复问题，主要研究内容如下：(1)在概率和平均框架下研究带有 Gauss 测度的具有共同混合光滑性的周期Sobolev 空间中的宽度问题. (2)研究平均采样数问题. 本项目研究成果共有论文4篇，发表1篇：(1)估计出带有Gauss 测度的球面上的Sobolev 空间在$L_q(1\leq q\leq \infty)$空间尺度下平均采样数的渐近阶,并找出平均框架下的最优线性算法，研究成果以论文的形式发表在CSCD检索期刊杂志“Analysis in Theory and Applications”上；.(2)估计出带有Gauss 测度的各项异性的Sobolev空间在$L_q(1\leq q\leq \infty)$空间尺度下平均采样数的渐近阶,并找出平均框架下的最优线性算法,研究结果以论文的形式投在“Journal of Complexity”上；.(3)估计出了带有 Gauss 测度的具有共同混合光滑性的周期 Sobolev 空间在$L_q(1<q<\infty)$空间尺度下的概率和平均Kolmogorov宽度的渐近最优阶；目前正在撰写修改。.(4)估计出了带有 Gauss 测度的具有共同混合光滑性的周期 Sobolev 空间在$L_q(1<q<\infty)$空间尺度下的概率和平均线性宽度的渐近最优阶；目前正在撰写修改。. 该项目是在平均以及概率框架下做研究，得出的研究结果 更为深刻地反映了函数类结构的本质特征，在现实应用中更贴切实际情况，为信号处理等方面的实际应用奠定了理论基础。