覆盖方法在粗糙隶属度函数中的应用

In classical set theory, one of the motive forces of general topology is depicting topological properties of spaces by using covering methods. Rough set is the generalization and important development of classical set theory. Rough membership function is an important mathematical tool to analyze the degree of memberships of elements to a set in rough set. The numerical characterization of Pawlak’s approximation operator by using rough membership function not only embodies mutual complementarity of Pawlak’s rough set and fuzzy set, but also develops probabilistic rough set models. In covering approximation spaces, the definitions of operators are generated by approximations. Due to complexity of covering, the definitions of other operators have not been interpreted by numerical properties so far except the one defined by W. H. Xu and W. X. Zhang in terms of numerical characterization. In this research project, for the first time, we will deepen and develop numerical characterizations of covering approximation operators by using covering methods of general topology. The members will use coverings of universe to construct rough membership functions, and characterize the definitions of covering approximation operators by the degree of memberships of elements to a set. This research project will not only contribute to studying covering rough set by using methods of fuzzy set, but also advance the covering-based probabilistic rough set models.

在经典集合论中，使用覆盖方法描述空间拓扑性质是一般拓扑学的动力之一。粗糙集是经典集合论的推广和重要发展。粗糙隶属度函数是分析粗糙集中元素和集合隶属关系的重要数学工具。使用粗糙隶属度函数实现Pawlak近似算子的数值刻画，不仅可以体现Pawlak粗糙集和模糊集的互补性，还可以推动概率粗糙集模型的发展。对于覆盖近似空间，算子的定义都是由近似性产生的。由于覆盖的复杂性，除W. H. Xu和W. X.. Zhang定义的算子具有数值刻画外，其余算子的定义都没有从数值性质的角度给出解释。本项目将首次使用一般拓扑学中的覆盖方法，深化和发展了用数值性质刻画覆盖近似算子的定义这一工作。项目组成员将使用论域的覆盖构造粗糙隶属度函数，运用元素关于集合的隶属程度刻画覆盖近似算子的定义。本项目的研究不但有助于使用模糊集的方法研究覆盖粗糙集，还能够推动基于覆盖的概率粗糙集模型的发展。

本项目运用单个覆盖近似算子和覆盖中的元素刻画了Sr-覆盖近似空间，这一结果解决了Z. Q. Yun等人2011年在国际权威期刊《Information Sciences》上提出的一个公开问题。此外，本项目还给出了tvs-锥度量空间上的超空间拓扑性质和收缩对应不动点定理。在上述基础上，本项目基于覆盖近似算子的拓扑结构，使用一般拓扑学中的覆盖方法构造了相应的粗糙隶属度函数，给出了相应定义的数值刻画。同时，本项目还深入探讨了粗糙隶属度函数的理论背景和实际应用，建立了各种覆盖广义粗糙集和基于覆盖的概率粗糙集模型之间的联系，并且以循证医学中的例子说明了粗糙隶属度函数在实际生活中的具体应用。考虑到基于覆盖的粗糙集在数据推理中的复杂性，本项目融合了J. W. Grzymala-Busse提出的序列数据挖掘方法和基于Pawlak粗糙集的决策规则理论，对于联合国数据库《工业产品统计年鉴》以及联合国FAO数据库统计信息中一些缺省值进行了挖掘，并且还给出了Pawlak粗糙集的三枝决策理论（正决策，边界决策和负决策）在数学教育评价中的一个应用。