某些自守L-函数的高次积分均值及其应用

自守L-函数理论是现代数论研究的前沿核心领域。按照Langlands纲领，自守L-函数的系数蕴含了深刻的算术、几何性质，通过对其各种性质的研究，有助于我们解决数论中的相关难题。因而，近年来自守L-函数系数的各种均值估计成为数论界研究的热点。项目申请人近年来在这一领域进行了相关探索，深化、推广了Rankin 和Selberg等人的几个结果。为获得相关均值渐近公式余项的尽可能好的估计，往往要用到L-函数的高次积分均值估计。L-函数的高次积分均值估计是一个困难、重要的问题。基于对可分拆L-函数可得到好的高次积分均值估计这一认识，本项目计划利用表示论的相关基本理论和经典解析数论方法，来研究某些可分拆的自守L-函数的高次积分均值，进而改进相关问题的余项估计。截至目前，已有部分先期成果按照项目的研究路线取得成功。

自守L-函数的高次积分均值估计是一个重要的研究问题. 项目执行期间, 项目组负责人及成员按照研究计划执行, 研究了某些自守L-函数的高次积分均值并给出应用, 取得了以下进展: (1) Hecke L-函数是阶为2的自守L-函数, 利用解析数论方法,结合自守L-函数理论知识, 我们分别研究了Hecke L-函数的傅立叶系数在稀疏整数序列上的均值估计, 及其系数在不同的稀疏整数数集上的交叉抵消; (2) 利用对称幂提升的自守性, 讨论了二次对称幂L-函数的系数的四次均值估计, 得到了目前最好的渐近公式; (3) 在Dirichlet L-函数的大筛法型六次积分均值估计假设下, 利用大筛法及Heath-Brown恒等式改进了小区间上的Bombier定理; (4) 研究了Spinor zeta函数的系数分布问题, 得到了关于其系数的Riesz型的高次均值估计的结果. 这些结果推广或改进了前人的结果, 揭示了自守L-函数的系数分布的深刻规律.