Potts及相关模型的几何性质、有限尺寸标度和应用

Potts and related models are highly important in the study of phase transition and critical phenomena. There has been a huge amount of research work on their basic properties and applications, and new progress keep appearing from time to time. This project will focus on this research field, combining theoretical analyses and computer simulations. Firstly, we shall study some basic properties: (1) The Potts model can be mapped into the geometric random cluster model. We shall investigate properties of critical polynomial which consists of geometric wrapping probabilities. By considering nonplanar lattices, continuous space, variation of parameter q of the Potts model etc., we shall try to get deep understanding of finite-size corrections and applications of the critical polynomial. (2) We shall explore the anomalous finite-size scaling in the upper critical spatial dimension, by utilizing new methods introduced in high dimensions, such as measuring correlation functions in unwrapped length. Secondly, we shall study applications of Potts model in the field of soft matter: (1) Recently, in a system of closely packed Janus particles, researchers found a phase transition which belongs to the universality class of 3-state Potts model. We shall study properties of the geometric clusters in the system by using methods for the Potts model. (2) We shall explore random processes inside the geometric Potts clusters, to investigate effects of fractal boundaries on processes inside, which may be of experimental relevance.

Potts及相关模型是研究相变和临界现象的重要模型，关于它们的基本性质的研究和应用已有很多成果，但仍持续有一些新的进展。结合理论分析与计算机模拟，本项目致力于在这一方向继续探索。首先关注基本性质：（1）Potts模型可以映射为几何集团模型，将研究反映几何性质的环绕概率组合成的临界多项式的性质。通过考虑非平面晶格、连续空间、Potts模型的参数q的变化等，深入理解临界多项式的有限尺寸修正和相关的应用。（2）将利用高维空间的新方法，例如用无缠绕长度来测量关联函数，研究临界空间维度的反常有限尺寸标度行为。其次关注Potts及相关模型在软物质中的应用：（1）最近有研究者在密堆积的Janus颗粒系统中发现了属于3态Potts普适类的相变，将应用Potts模型的方法研究该系统的几何集团性质。（2）将利用Potts模型中的几何集团探索分形边界对内部随机过程的影响，这可能与实际实验相关。

对Potts及相关模型的研究在相变和临界现象的理解方面发挥了重要作用。本项目的核心内容是研究模型的临界几何性质、有限尺寸标度和在软物质中的应用。在本项目的资助下，我们主要完成了以下研究：(1)结合逾渗理论和蒙特卡洛模拟研究了二维Janus粒子系统取向有序的条纹相中的普适临界逾渗行为。发现通过一个恰当的空间尺度变换后，可以用各向同性逾渗来理解该各向异性系统中的普适临界逾渗行为。这种尺度变换的方法可以应用于理解更多的各向异性系统，例如二维对齐的硬棒粒子系统和具有各向异性相互作用的q态Potts模型。利用数学中的等半径图方法给出了一个有效剪切变换，它被用来理解三角晶格上不同方向耦合强度各异的Potts模型。(2)结合蒙特卡洛模拟、临界多项式方法和对称性分析，给出了二维11种阿基米德晶格上具有任意补丁数的圆盘粒子系统的逾渗阈值。(3)结合蒙特卡洛模拟和临界多项式方法高精度地测定了二维非平面和连续空间逾渗模型的阈值，并观察了阈值的变化规律，发现临界多项式在两类模型中的有限尺寸修正都很小。(4)研究了二维最大逾渗集团和骨干集团中的最大孔洞的普适分布，仔细刻画了分布的性质。(5)精确测定了高维（四维和五维）逾渗模型的临界指数和普适剩余集团数，并观察临界指数对空间维度的依赖。 .在本项目的资助下我们已发表学术论文6篇，其中包括1篇Phys. Rev. Lett.，3篇Phys. Rev. E，2篇Physica A。这些成果加深了人们对（各向异性）Potts及相关模型的相变和普适临界行为的认识。.本项目还完成了人才培养计划，培养毕业了2名硕士。