几类延迟常微分方程的Schwarz型波形松弛算法研究

Schwarz waveform relaxation is a new parallel algorithm and the study of this algorithm has attracted lots of attention from many researchers during the recent ten years.In this project, we study the convergence properties of the algorithm for solving three kinds of delay differential eqautions. For the linear delay differential equtions arising from spatially discretizing the heat conduction equations with time delay and the linear neutral differential equations arising from linear circuits of lossless transmission lines, our attention is focused on obtaining the optimal parameter involved in the algorithm and analyzing the asymptotic property of the algorithm under the optimal parameter, i.e., how the convergence rate behaves with respect to continuous decrease of the discretization meshes. For nonlinear circuits of lossless transmission lines (in this case the circuit equations are nonlinear neutral differnetial equations), our attention is focused on how to derive a sharp upper bound of the convergence rate and how to obtain a reasonable choice of the free parameter by optimizing this upper bound. The results of this project will further enrich and improve the resarch ideas and analysis techniques for the Schwarz waveform relaxation algorithm, and also they laid the foundation for the further study of this algorithm for other complex problems with delay.

Schwarz 型波形松弛算法是最近十余年发展起来的一种新型并行计算方法，该算法研究目前已引起国内外学者的广泛关注。本项目围绕三类延迟常微分方程组对该算法的收敛性展开系统研究。对延迟热传导方程半离散后的线性延迟常微分方程组，以及描述线性无损耗传输线电路系统的中立型延迟常微分方程组，重点研究算法最优参数选取所涉及的一类极小-极大优化问题和最优参数下算法的渐近性质，即离散步长持续减小时算法收敛速度的变化情况。对非线性无损耗传输线电路系统(此时电路方程为非线性中立型延迟常微分方程组），重点研究如何获得算法收敛速度的一个非保守延迟依赖上界，以及如何通过优化该上界获得算法中自由参数的合理选择。本研究将发展新的研究思路和分析手段，深化延迟情形下对该算法收敛性的认识，所获结果将进一步丰富该算法的收敛性理论，同时为研究该算法求解其他复杂延迟问题奠定基础。

本项目研究计划要点是分析三类延迟微分方程Schwarz型波形松弛(Schwarz Waveform Relaxation)算法的收敛性，重点在于：通过求解一类新的、更加复杂的极小-极大问题，获得Robin传输条件中自由参数的合理选择。在项目执行中，我们严格按照项目计划任务书进行研究，对这三类延迟微分方程的Schwarz波形松弛算法进行了深入分析，对一类更加复杂的极小-极大问题进行了系统研究，获得了更加高效的最优参数。除此之外，我们还对一类描述无损耗传输线电路系统的中立型延迟PDE进行了研究，在时空连续层面和半离散层面研究了Robin型Schwarz波形松弛算法的收敛性。为匹配Schwarz型波形松弛算法的空间并行性，我们还系统深入地研究了两类时间并行计算方法。这些后续研究不在项目计划任务书所列范围之内，但具有十分重要的意义：它们和Schwarz波形松弛算法相结合，形成实用的时空并行计算方法，为求解复杂、实际问题奠定了基础。..经过三年的努力，在研究团队通力合作、国内外前辈的指导和帮助下，本项目原定研究目标已顺利完成。下面是本项目主要结果概述。.1. 对离散延迟反应扩散方程，获得了Schwarz型波形松弛算法收敛性判据，并对最优Robin参数获得了简洁计算公式，并分析了最优参数下算法收敛因子对离散步长的渐进关系。.2. 对分布延迟反应扩散方程，由于其稳定性的特殊性，我们提出了新的分析手段确定最优Robin参数，并分析了最优参数下算法收敛因子对离散步长的渐进关系。.3. 对无损耗传输线电路方程（一类中立型延迟微分方程），Schwarz波形松弛算法的收敛性分析较上述两类延迟方程有本质不同。.为此，我们在项目研究中提出了全新的研究手段分析确定最优Robin参数，并分析了最优参数下算法收敛因子对离散步长的渐进关系。.4. 在顺利完成本项目既定研究计划的前提下，项目组成员还进行了必要的拓展研究。特别地，为匹配Schwarz波形松弛算法的空间并行性，我们深入分析了两种时间并行计算方法：Parareal算法和Laplace Inversion。对前者，我们系统分析了算法的收敛速度，并提出了若干加速策略。对后者，我们给出了不依赖于方程原项的计算格式，并给出了系统详尽的误差分析。