离散最优传输问题，闵可夫斯基问题和蒙奇－安培方程中的变分原理和Power图

In geometry, optimal transport problem (OTP), Minkowski problem and Monge-Ampere equation (MAE) are three seemingly differet but closed related problems. They not only have rich structures and beautiful theories, but also have many applications in various areas of engineerings and biomedecine. However, the conventional methods, either linear programing for OTP or finite element method for MAE, do not recognize the fundamental relation among these problems. In this project, we propose a framework based on the convex geometry that can solve these three problems altogether and discovers the intrinsic relations among them. Our key insights are 1) there is a variational principle shared by these problems;2)they are closely connected to power diagram, a generalization of the classic Voronoi diangram in computational geometry. This enables us to develop efficient and robust algorithms and thus to solve the engineering problems in real world. We will carry out our research in three levels: developing theory, designing algorithms, and exploring applications in computer vision and computer graphics, geometric modeling and medical imaging.

在几何中，最优传输问题，闵可夫斯基问题和蒙奇-安培方程是三个表面上不同，但是本质上紧密相关的问题。它们不仅有丰富的结构和漂亮的理论，而且在很多工程领域有广泛的应用。但是传统的算法，无论是解最优传输问题的线性规划，还是解蒙奇-安培方程的有限元方法，都不能揭示这个本质的联系。本项目基于凸多面体几何，提出一个统一的框架，它可以同时解上述三个问题，从而能够揭示深层的联系和丰富相关的理论。同时该框架能给出更精确的解。我们的关键观察是1）它们共享一个具有几何意义的变分原理，2它们与计算几何中经典的Voronoi图有紧密联系。这使得我们能够发展有效算法，从而解决实际工程问题。本项目将从理论，算法，应用三个层次来开展研究,并将理论框架和算法从欧氏空间推广到一般的黎曼流形。

在几何中,最优传输问题,闵可夫斯基问题和蒙奇-安培方程是三个表面上不同,但是本质上紧密相关的问题。它们不仅有丰富的结构和漂亮的理论,而且在很多工程领域有广泛的应用。本项目基于凸多面体几何,提出一个统一的框架,它可以同时解上述三个问题,从而能够揭示深层的联系和丰富相关的理论。同时该框架能给出更精确的解。本项目从理论,算法,应用三个层次来开展研究,并将理论框架和算法从欧氏空间推广到一般的黎曼流形。..利用本项目的资助，我们还研究了在点云上求解偏微分方程的数值方法及相关理论。点云上求解偏微分方程的数值方法有广泛的应用，包括计算几何中曲面上共形映射和拟共形映射的计算，蒙奇-安培方程的求解，曲面上的对流扩散方程的模拟等。尤其是近年来，大量的大数据问题可以用高维空间中的点云来描述，点云上的偏微分方程成为了研究大数据问题的重要工具。在本项目中，我们提出了点积分方法来求解点云上的偏微分方程，并建立了相关的理论。结合低维流形模型，调和延拓等描述高维数据的模型，点积分方法在图像处理，半监督学习，矩阵恢复等问题中得到了成功的应用，成为了一种新的有效的分析高维数据的方法。