非线性波方程的精确解与动力学研究及其在反应扩散模型中的应用

目前，非线性波方程已被广泛的应用于流体力学等许多领域。对于非线性波方程，如何获得其包括孤立子在内的精确解，如何研究方程的动力学性质，并将研究成果应用于生物学模型已成为当前非线性工作者的研究热点。本项目首先围绕非线性波方程的精确解和动力学这两方面展开，然后在此基础上，将这两方面的研究成果应用于生物学中的反应扩散模型。本项目预期对非线性波方程精确解的构造提出新方法；将孤立子、分形和混沌三者有机结合，探讨波方程所蕴含的丰富的局域激发模式；通过时空可积分解的研究，将复杂高阶非线性波方程转化为低阶常微分方程；从动力系统的角度分析获得非线性波方程的非解析行波和complexiton等解产生的原因与存在的分岔条件，并结合广义函数理论证明这些解分别是何种意义下的解；构造生物学中反应扩散模型的精确解并研究其斑图动力学。本项目的研究将进一步丰富非线性动力学的研究成果，对生物数学理论的发展起到一定的推动作用。

本项目研究的主要目的是通过研究非线性波方程的精确解和动力学，发展求解精确解的新方法，探讨波方程所蕴含的丰富的局域激发模式，从动力系统的角度揭示非解析波和非行波解产生的内在机理，探索非线性波方程的动力学行为和规律，进一步丰富非线性动力学的研究成果，对生物数学理论的发展起到一定的推动作用。自项目开展以来，项目组对拟解决的若干关键科学问题进行了深入的研究分析，取得了一定的研究成果，较好的完成了项目的预期研究目标。所取得的重要研究进展和成果包括：1）利用Wronskian行列式方法，成功求解了3+1维Jimbo-Miwa方程、3+1维推广的浅水波方程和一类广义Boussinesq方程，获得了这三个方程新的显式精确解，所获得的研究结果有助于我们进一步理解非线性波方程的动力学演化行为和特征；2）针对3+1维Jimbo-Miwa方程，研究给出了其Pfaffian形式的精确解；3）利用推广的双Darboux变换法获得了非等谱KdVESCSs方程的negaton解，positon解和complexiton解，并研究了这些解的动力学演化行为。此外，还研究了一类带自相容源的sine-Gordon方程新的显式精确解；4）任意阶矩阵谱问题的可积耦合类和哈密尔顿结构研究；5）研究了周期二聚物颗粒型链的高阶非线性孤立波及其分岔，讨论了波解随时间从光滑到非光滑的演化特征。此外，还研究了该方程的动力学行为，并解释了非光滑行波产生的原因；6）本项目资助研究了若干相关课题，包括多阈值网络模型和色噪声驱动下对称双稳系统中的随机共振、Rayleigh-Duffing振子动力学性质、非线性动力系统的首次漂移概率，以及不同阶混沌系统缩阶混合函数投影同步等。本项目共资助发表15篇相关学术论文。相关研究成果发表在包括Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation，Applied Mathematics and Computation，Applied Mathematical Modelling，Mathematical Methods in the Applied Sciences，Nonlinear Dynamics，International Journal of Dynamics and Control等在内的本领域国际知名学术期刊上。