奇非线性波的动力学与精确解研究

本项目的第一部分研究奇非线性波的动力学性质。具有奇线的奇非线性波往往存在非光滑波等复杂的动力学行为，对非光滑波产生的机理与动力学性质进行研究是一个非常重要而且困难的工作。本项目利用动力系统分支理论和奇异摄动理论分析不同类型的奇线对非线性波的光滑性变化的影响，解释奇非线性波的光滑波和非光滑波共存等复杂动力学现象产生的机理。.本项目的第二部分研究非线性波的精确求解问题。通过构造合适的多项式变换，把求解复杂的非线性波方程转化为求解相对简单的子方程，利用动力系统分支理论深入分析子方程，研究子方程在约束条件下的所有精确解，把子方程推广到高阶和高次情形，提出推广的子方程法，并用之来研究一大批具有重要应用背景的非线性波的精确解。.本项目的研究将丰富和发展经典的动力系统理论和非线性波动理论，促进相关学科的应用与发展。

通过对Green Naghdi 方程组、广义BKP方程，广义 KP-MEW(2,2)方程和广义Boussinseq 方程等奇非线性波方程的研究，获得了对应的正则行波系统在奇曲线附近的动力学性质，分析了奇性对波的光滑性的影响，证明了某些波的光滑性在奇性作用下具有保持性，解释了某些光滑波在奇性的作用下是如何逐渐失去光滑性而最终演变为非光滑波的，并给出了各种光滑和非光滑波存在的充分条件。另一方面，通过对广义 Hirota-Satsuma 耦合非线性KdV方程组、广义 KdV 方程、非线性 Benjamin-Bona-Mahony 方程等方程或方程组进行研究，提出了推广的子方程法，在约束条件下对子方程进行定性分析，得到了子方程的所有精确解，从而获得了原非线性波方程一系列的精确解。从研究成果来看，我们已经基本实现预定的研究目标，本项目的完成有助于为非线性波相关问题提供理论支持。