高度正则图的代数性质

The distance-regular graph has good combinatorial properties as well as strong algebraic restriction. The Terwilliger algebra is an important algebraic tool of researching distance-regular graphs, which can be used to determine structures of graphs and has close relation to the Lie algebra, the quantum algebra, as well as the semidefinite linear programming, and thus becomes a hot issue in algebraic combinatorics. In this project we will focus on Terwilliger algebras of high regular graphs which are in close relation to distance-regular graphs. We will do the research in three aspects as follows: we will study Terwilliger algebras of classical graphs; calculate the irreducible modules of these graphs; determine their combinatorial properties by using irreducible modules, and further classify the distance-regular graphs with specific substructures.

距离正则图不仅具有很好的组合性质，而且具有很强的代数制约。Terwilliger代数是研究距离正则图的重要代数工具之一，它不但可以用于刻画图的结构，而且与Lie代数、量子代数和半正定线性规划紧密相关，对它的研究是近年来该领域的热点问题之一。本项目主要围绕与距离正则图密切相关的高度正则图的 Terwillier 代数展开如下三方面的研究：拟决定经典图的 Terwilliger 代数；研究这些图的 Terwilliger 代数的不可约模表示；通过不可约表示来刻画图的组合性质，进而刻画具有特殊子结构的距离正则图。

距离正则图是代数组合学与图论中重要的研究对象，它不仅具有很好的组合性质，而且具有很强的代数制约。与距离正则图有着相似性质或者密切相关的高度正则的图类如距离双正则图、距离半正则图等同样具有重要的研究意义。Terwilliger代数是研究距离正则图的重要代数工具之一，它不但可以用于刻画图的结构，而且与Lie代数、量子代数和半正定线性规划紧密相关，对它的研究是近年来该领域的热点问题之一。本项目主要围绕与距离正则图密切相关的高度正则图的 Terwillier 代数展开研究。 我们研究了一类经典的距离双正则图Johnson 几何的关联图 J(n,m,m+1)，得到了 J(n,m,m+1) 的 Terwilliger 代数的具体形式，找到了这个代数的两组基，计算了代数的维数，并且研究了这个代数的不可约模结构，由此我们找到了 J(n,m,m+1) 的不可约模与经典的距离正则图 Johnson 图 J(n, m) 的不可约模之间的关系。研究了Johnson 图 J(n,d) 当 2d<=n<3d 的情况，即之前的学者未解决的部分，是对已知结果的补充。此外，我们还研究了一些距离正则图其他的代数性质。我们计算了Hamming 图和 Johnson 图的分数度量维数，证明了奇异线性空间的EKR定理，证明了每一个twisted Grassmann图和Grassmann图都是伪核，证明了双线性型距离正则图的Hilton–Milner定理，并且对围长大于2和有两类弧的3度弱距离正则有向图进行了分类。