高度正则图的 Terwilliger 代数

Terwilliger algebra is one of the most important algebraic tools in studying distance regular graphs, which can be used to determine the structure of graphs and has close relation to the Lie algebra and the quantum algebra. In this project, we will focus on studying the structures and properties of T-algebra and T-modules of high regular graphs. We will study the relationship of T-modules of distance-biregular graph and its halved graph、antipodal graph and its folded graph, as well as one graph and its line graph.

Terwilliger 代数( T-代数)是研究距离正则图的重要代数工具之一, 它不仅可以刻画图的结构, 而且与 Lie 代数、量子代数等有密切联系. 本项目拟研究高度正则图的 T-代数及其不可约模的结构和性质, 主要研究以下几个问题: 研究具体图的 T-代数和不可约模; 距离双正则图和其二分之一的 T-模之间的关系; 对径图和其折叠图的 T-模之间的关系; 图和它的线图的 T-模之间的关系.

Terwilliger 代数(或简称为 T-代数)就距离正则图的重要代数工具之一, 它是在上世纪 90 年代为了解决 Bannai 提出的 P-多项式方案和 Q-多项式方案的分类问题而提出, 图的 T-代数比 Bose-Mesner 代数包含了更多的代数和组合信息, 尤其包含了图的关于某一顶点的次成分的一些信息. 距离正则图是一类经典的图类, 它们同时具有很好的代数性质和组合结构, 在结合方案、极值组合、编码、设计、正交多项式理论中有广泛应用. 我们以研究距离正则图的 T-模和 T-代数为目标, 深入研究距离正则图的相关代数性质和组合结构. 主要从以下四方面展开研究:. 1.在距离双正则图和其二分之一的 T-模之间的关系方面, 主要包括不可约 T-模之间的端点、直径和基的关系. 进而揭示它们的 T-代数之间的关系. 我们利用距离双正则图的 T-模来构造其二分之一的 T-模，确定其二分之一图的 T-模的同构类以及每个不可约模的维数, 从而得到其二分之一图的 T-代数.. 2.在对径图和其折叠图的 T-模之间的关系, 我们研究了超立方体图 H(n,2) 以及 Jonson 图 J(2m,m) 这两类图的 T-模之间的关系, 包括不可约模之间的端点、直径和基的关系. 进而揭示它们的 T-代数之间的关系. 并给出折叠图的 T-代数.. 3.在距离正则图的代数性质和组合结构方面, 我们刻画了 Grassmann 图和twisted Grassmann 图的自同态,证明了 Grassmann 图都是伪核, 并讨论了在一些情况下 Grassmann 图是核的情况. 我们利用代数方法计算了双线性图上的 t 相交族的基数的最大值, 并给出了双线性型图上的第二极大的相交族的基数并刻画了该相交族的结构.. 4.在弱距离正则有向图和广义连通度方面, 我们研究了一些特殊的弱距离正则有向图的分类问题, 给出了交换的 3 度弱距离正则有向图的分类和拟薄的弱距离正则有向图的分类. 我们研究了两个图的笛卡尔积的广义 3 连通度. 给出了两个图的笛卡尔积的广义 3连通度的两种形式的下界，其中一种形式的下界改进了李恒哲等学者给出的下界，另一种形式的下界验证了他们的猜想在一些情况下是正确的。