非对称矩阵优化问题的灵敏度分析、算法及其应用

Nonsymmetric matrix optimization problem is an important type of matrix optimization problems, since it has widely found many applications in the fields of science and engineering, for example, in applied statistics, numerical approximation, compressive sensing, and so on. Compared with symmetric matrix optimization problems, relatively few research results on nonsymmetric matrix optimization problems have been achieved and could not meet practical needs. Thus, the study on sensitivity analysis and algorithms of nonsymmetric matrix optimization problem and its applications is of great significance. With the help of the relevant theory of singular value, semismooth, variational analysis and perturbation analysis, this project aims at the sensitivity analysis and algorithms of nonsymmetric optimization problems over some particular nonsymmetric matrix cones,inlcuding spectral norm cone and nuclear norm cone. The objective of the project is to obtain that, under some constraint qualifications, the following conditions are equivalent: the strong second order sufficient condition,the strong regularity of KKT point,the nonsingularity of Clarke generalized Jacobian of KKT point,the strong stability of locally optimal solution, and others; and to further characterize the local convergence of numerical algorithms (such as the augmented Lagrangian method) and develop matlab software for nonsymmetric matrix optimization problems, intending to make contribution to the theoretical study and applications of nonsymmetric matrix optimization problems.

非对称矩阵优化问题是一类重要的矩阵优化问题,它在应用统计、数值逼近、压缩感知等科学和工程领域有着广泛的应用。与对称矩阵优化问题相比，非对称矩阵优化问题的研究成果相对较少，已不能满足实际的需求，因此对非对称矩阵优化问题灵敏度分析、算法及其应用的研究意义重大。本项目旨在以奇异值等矩阵理论、半光滑理论、相关的变分分析和扰动分析理论为基础，针对某些具体的包括谱范数与核范数锥在内的几种非对称矩阵优化问题进行灵敏度分析和算法研究。通过研究非对称矩阵优化问题相关投影算子的性质，以期在某种约束规范下，得到强二阶充分性条件、KKT 点的强正则性、KKT系统对应函数Clarke 广义Jacobian阵的非奇异性、局部最优解的强稳定性等条件的等价关系，进而用于刻画非对称矩阵优化问题算法（如增广Lagrangian方法）的局部收敛性，并研制算法的matlab软件，期望为非对称矩阵优化问题的理论研究与应用作出贡献。

非对称矩阵优化问题是在数值逼近、应用统计、压缩感知等科学工程领域有着广泛的应用。本项目针对具有重要科学意义和应用价值的非对称矩阵优化问题，如谱范数矩阵逼近问题、加权1范数上图优化问题等，开展相关优化问题的灵敏性分析和算法设计。项目在灵敏性分析和算法设计两方面均取得了一些重要的研究进展，其重要结果可概括如下：在理论研究方面，本项目以半光滑理论以及相关的变分分析和扰动分析理论为基础，针对具体非对称矩阵优化问题的灵敏性进行分析，得到了：在某种约束规范下，强二阶充分性条件、KKT 点的强正则性、 KKT系统 Clarke 对应函数广义Jacobian阵的非奇异性、局部最优解的强稳定性等一系列条件之间的等价关系，并刻画了相应优化问题KKT点平稳性的等价条件，这部分的研究结果为相关优化问题的算法设计奠定了理论基础。在算法设计方面，本项目研究了非对称矩阵谱范数逼近优化问题和加权1范数优化问题的邻近点算法等高效、快速算法，利用本项目灵敏性分析得到的理论成果，讨论了算法的局部收敛性，并有效研制了算法的MATLAB程序。通过与现有常用的算法比较，大量的数值结果表明，项目提出的算法更高效、更快速，并能求解更大规模的优化问题。.项目的研究成果在矩阵逼近、压缩感知、信号处理、统计分析等众多领域有着广泛的应用，可应用到机器学习、深度学习、人工智能等重要且具有广泛科学价值的领域。项目研究成果以论文形式呈现，已接受发表学术论文13篇，发表期刊包括优化顶级SCI期刊Mathematical Programming, Series A和有重要影响的优化SCI期刊Computational Optimization and Applications，Set-Valued and Variational Analysis，Mathematical Methods of Operations Research，Pacific Journal of Optimization等。项目共培养硕士研究生6人，他们毕业论文的选题和研究内容均与本项目的研究息息相关。