复合刚性泛函微分方程高效分裂算法及其理论

针对不同类型非线性复合刚性Volterra(常及偏)泛函微分方程的不同特征，分别设计快速高效分裂算法，建立分裂算法的稳定性与收敛性理论，并通过数值试验与常用算法进行比较，以确证所设计的分裂算法的快速与高效性。在此基础上，针对多介质辐射流体力学方程组的固有特征，改进原有解耦算法，设计其新的高效分裂算法，建立新的高效分裂算法的理论基础，并将其应用于辐射驱动二维柱对称内爆压缩过程数值模拟，以期明显地提高其原有计算速度及计算结果的置信度。.本项目的研究成果将促进刚性泛函微分方程数值方法及其理论研究的进一步发展，同时有利于促进我国高新技术数值模拟研究的快速发展。 本项目的一个副产品是同时研究了非刚性问题显式数值方法及其理论。这方面的成果可弥补目前国内外文献中对非刚性泛函微分方程数值方法研究的不足。

分裂算法是高新技术问题数值模拟及大规模科学计算中一项必不可少的关键技术。 然而目前国际上已有的算子分裂方法不适用于求解高新技术及惯性约束聚变(ICF)数值模拟中经常遇到的各种十分复杂的多尺度强非线性复合刚性问题，例如三温辐射流体力学方程组等等。 .为了突破这一严重局限，本项目致力于研究普适于一般的非线性复合刚性常及偏微分方程问题及Volterra常及偏泛函微分方程问题 (VFDEs) 的新的分裂算法。 我们所获得的最重要创新成果之一就是构造了普适于求解一般的非线性复合刚性问题的正则Euler分裂方法 (CES方法)， 并在完全拼弃国际上已有的经典算子分裂理论，直接依据我们所建立的正则Runge-Kutta法 (CaRK) 的经典理论和B-理论的基础上，建立了正则Euler分裂方法的定量稳定性与收敛性理论。 这项成果不仅突破了国际上已有分裂算法的上述严重局限，而且为我们正在从事的ICF数值模拟研究提供了新的关键技术； 不仅为我们已使用多年的“解耦算法”找到了理论依据、不足之处和改进策略，而且很有希望大幅度提高求解三温辐射传热方程组及多群辐射输运方程组的计算速度和可置信度。 因而对于我国高新技术及ICF数值模拟研究的快速发展具有重要促进作用。.例如我们曾在Dell 微机上，在由将近一百万个网格组成的空间积分区域上，用CES方法串行求解一个简化的三维辐射热传导方程， 时间从0变到1.6， 时间步长从10的负3次方逐渐变小到10的负5次方. 所获数值解的整体误差的L2范数约为10 的负3次方，而整个计算仅仅花费了时间11小时18分7秒。 注意我们是用CES方法串行计算的，而且一律要求牛顿迭代误差变到小于10 的负8次方才停止迭代。 如果使用多个处理器并行计算，计算速度必将进一步大幅度度提高。.计算速度快得如此惊人，这在以前确实是不敢想象的。因为我们以往曾在同样的微机上，在仅仅具有八万个网格的空间积分区域上，用已有的快速算法求解二维三温辐射热传导方程，花了十余天时间才基本上完成任务，而且遇到了无法解决的牛顿迭代不收敛的严重问题。.本项目所获其它重要创新成果, 例如建立了CaRK方法经典理论，设计了时间区间分裂方法，设计了广义CES方法，构造了一般的VFDE问题弱间断点捕捉方法，首次解决了长时间刚性计算问题等，请详见结题报告正文。