高维非线性系统动力学及在深空探测轨道设计中的应用

Owing to the extreme difficulty, many difficult problems remain to be settled urgently for high-dimensional nonlinear systems.This project is focused on the investigations of the following problems. (1) Some sharp estimates of the flow evolution, the sharp expressions of the Melnikov functions, of the energy functions, and of the Poincare mappings are derived. Some new sufficient conditions of existence are established for the single-pulse homoclinic orbits and the multi-pulse homoclinic orbits of the high-dimensional nonlinear systems, and some new criteria for chaos with Melnikov-type or Silnikov-type are also established. (2) The homoclinic bifurcations and chaos are studied rigorously for the fast-slow systems with the degeneration of fold points etc, and the mechanism of some interesting nonlinear phenomena (obtained by numerical simulation) occurring in these degenerate systems are revealed. (3) For the planar circular restricted three-body problem, using McGehee’s geometric model and some results due to Morse, Lyapunov and Conley etc, the sharp expressions of Melnikov functions measuring the distance between the unstable manifolds and the stable manifolds, and of energy functions for the multi-pulse heteroclinic orbits with (q, p) type are established. The existence of the heteroclinic orbits connecting the Lyapunov periodic orbits of the Libration point L1 to the Lyapunov periodic orbits of the Libration point L2 is studied rigorously. These investigations are very important in both theory and applications for the optimal design of the interplanetary flight orbits

由于研究难度大，高维非线性系统中存在许多极为困难且急需解决的问题。本项目拟(1)获得更精细的流演变估计式以及Melnikov 函数、能量函数和Poincare映射表达式等，建立高维系统单脉动、多脉动同宿轨存在性的若干新的充分条件，以及相应的Melnikov 、Silnikov 型混沌新判据。(2)研究具有折奇异性等退化特性的快-慢变系统的同宿分岔与混沌行为，揭示此类退化系统中出现的一些有趣非线性现象（由数值模拟得到）的机理。(3)利用平面圆形限制三体问题的McGehee几何模型和Morse,Lyapunov, Conley 的结果等，建立度量相应的不稳定流形与稳定流形之间距离的Melnikov函数的精细表达式和(q, p) 型多脉动异宿轨的能量函数表达式，解析研究连接平动点L1、L2 Lyapunov周期轨的的异宿轨的存在性。这在深空探测轨道设计与优化中具有重要理论意义和实际应用价值。

本课题主要研究内容是：(1)研究高维系统单脉动、多脉动同宿轨（异宿轨）的存在性及混沌判据;(2)使用广义Melnikov方法和能量-相位法研究一类 型多脉动异宿轨的存在性以及空间限制三体问题中同宿轨、异宿轨的存在性等问题。.主要结果如下：(1)分别研究了一类复合材料对称正交叠层板1:2内共振模型和受横向载荷和面内载荷联合作用下四边简支 3D-Kagome 桁架夹芯板模型的全局分岔和单脉动混沌动力学行为。利用全局摄动法，得到了系统存在连接鞍焦点的Shilnikov型单脉动同宿轨的充分条件和混沌判据。(2) 分别研究了功能梯度材料压电板和气动热弹性功能梯度材料截顶圆锥壳模型在1:2内共振和主参数共振时的全局分岔和多脉动混沌动力学。利用广义Melnikov方法和能量相位法，获得了系统存在多脉动同宿轨的充分条件以及产生Smale马蹄混沌运动的判据，发现随着耗散因子的增加，同宿树会逐渐破裂。(3)研究了亚音速流和外荷载作用下一类非线性粘弹性板模型的次谐分岔和混沌运动，得到了参数域中混沌和非混沌区域的临界曲线，以及次谐分岔的条件，揭示出该类系统可以经过无限次奇数阶次谐分岔进入马蹄意义下混沌的途径。(4)研究了一类带外挂机翼六维非线性气弹模型的稳定性和分岔问题，给出并证明了系统存在一对纯虚根、两对纯虚根、三对纯虚根的充要条件，得到了稳定域和临界曲线，给出了系统发生Hopf分岔和二维环面分岔的参数区域。研究结果表明:适当调节或控制系统参数，可以避免该类机翼颤振的发生。这些研究结果为相关结构的动力学分析和参数设计提供理论指导。(5)提出了分数阶系统的矩阵和逆矩阵投影同步方法，该方法具有一般性，在一定的退化条件下，可用于研究受扰分数阶超混沌系统的完全同步，反同步，投影(或逆投影）同步，修正的投影（或修正的逆投影）同步和稳定化等问题，构造了受扰分数阶超混沌Chen系统和分数阶超混沌Rabinovich系统，实现了它们的矩阵和逆矩阵投影同步。.发表学术期刊论文32篇，其中SCI收录29篇，EI收录21篇次。