确定和随机的流体力学方程组的若干数学问题

In this program, we will study the well-posedness for the fluid dynamics systems, blowup criterion of the solutions, formation of singular, the behavior of the solution, etc.. We will continue to explore new structure of nonlinear system, develop some modern analysis techniques, using the modern analysis techniques, the semi-classical analysis and stochastic analysis methods, study some important problems in the fluid dynamics systems. Global well-posedness problem for the incompressible Navier-Stokes equations and related fluid dynamics systems with large initial data. Well-posedness problem for the stochastic Navier-Stokes equations and related stochastic fluid dynamics systems in the critical Besov space, and study the influence of stochastic force on the system. We will get some important results in the field of partial differential equations.

在本项目中,我们将研究确定或随机流体力学方程组的适定性、解的破裂机制或解的大时间性态等。我们将寻找非线性方程组的新结构，充分发展各类现代分析技术，通过结合现代分析技巧、半经典分析以及随机分析方法等，深入探讨流体力学方程组中的一些重要的问题。如不可压缩Navier-Stokes系统和相关流体力学方程组关于大初值的整体适定性，随机Navier-Stokes系统和相关随机流体力学方程组在临界Besov空间中的适定性问题，探讨随机外力对系统的影响等。本课题的研究，可望获得创新性的研究成果，进一步推动了偏微分方程分析学科的发展。

本项目按计划顺利完成，发表和录用论文27篇。研究了有重要意义的几类方程，如不可压缩Navier-Stokes 方程组，可压缩Navier-Stokes方程组，不可压缩推广的Boussinesq系统，描述复杂流体的粘弹性流体力学方程组等。应用现代分析技术等研究了确定或随机流体或复杂流体力学方程组的适定性问题、解的破裂机制或解的大时间性态等。对于三维不可压缩Navier Stokes系统，研究解的整体存在性和正则性指标等; 三维不可压缩Navier–Stokes方程组Landau 解的稳定性问题；对于三维不可压缩黏弹性流体力学模型，研究了解关于时空的逐点估计；对于等熵可压缩Navier-Stokes方程，考虑了一类大初值整体解的存在性；对于一类2维磁场无耗散的MHD系统，在压强非单调增时，探讨了整体弱解的存在性; 对于三维Prandtl系统，二维MHD的边界层问题，研究了解的几乎整体存在性，并探讨了二维磁微极流体系统的边界层问题的局部解的存在性和唯一性等。对于随机三维不可压缩各项异性Navier-Stokes系统,得到了局部强解的存在性, 小初值和小随机外力的整体解的大概率存在性；对于轴对称随机三维Navier Stokes系统，当初始速度场和白噪声的旋转分量足够小，证明了整体路径解几乎必然存在唯一；考虑了随机Navier-Stokes方程组对于临界空间中的初值考虑其适定性问题；研究了随机Boussinesq系统路径强解的存在性，并说明整体解是大概率存在的。