超尖表示之间的局部theta对应

Assuming that the residual characteristic is sufficiently large, in a joint paper with Loke, we explicitly described the local theta correspondence between tamely ramified supercuspidal representations in terms of Yu's parameters. Meanwhile, when the residual characteristic is different from 2, Stevens have constructed all supercuspidal representations of classical groups. Hence, it is also desirable to explicitly describe the local theta correspondence in terms of Stevens' parameters...We plan to study the following related problems:.1. It is expected by experts for many years that Yu and Stevens' construction of supercuspidal representations are essentially the same in the tamely ramified case. We would like to compare these two constructions and write down a "dictionary" to translate the notations and ideas between them. .2. Study the correspondence between supercuspidal types in terms of Stevens' parameter and then write down an explicit description of the local correspondence between all supercuspidal representations. .3. Study of the correspondence between semisimple types and related Hecke algebras. Suppose these correspondences are well understood, we should get an explicit description of the local theta correspondence for general irreducible smooth representations...The answer of above problems will shed light on the study of local Langlands functoriality properties for classical groups.

假设剰余域的特征足够大，在与Loke合作的论文中，我们用Yu的参数描述了弱分歧(tamely ramified)超尖表示之间的局部theta对应。而当剩余域的特征不为2时， Stevens构造了典型群的所有超尖表示。因此我们希望用Stevens的参数描述局部theta对应。我们计划研究以下相关问题：.1. 多年来，人们猜测在弱分歧情况下Yu和Stevens关于超尖表示的构造应该本质上是一样的。我们计划比较这两种构造并写下一个可以用来翻译这两种方法的 “字典”。.2. 研究Stevens的超尖type之间的对应关系，并由此写出所有超尖表示之间的局部theta对应。.3. 研究半单type和相关的Hecke代数的对应关系。利用这些对象之间的对应关系，可以推导出典型群的一般的不可约光滑表示之间的局部theta对应的具体描述。.以上这些问题的回答将有助于典型群的局部朗兰兹函子性的研究。

本项目的核心研究工具是K-type。我们主要究theta对应及其在典型群的表示论和Langlands纲领中的应用。.通过研究超尖type之间的theta对应，我们给出了p-进典型群的超尖表示之间的theta对应。这一具体描述将在数论和典型群的表示论中有广泛应用。.我们研究了实典型群的theta对应中的一类的K-type/Associated Character公式。这一公式是典型群幂幺表示的构造和分类的新工具。幂幺表示的分类和酉性是实李群表示论中重要的未决问题。我们造出了对应典型群的所有的幂幺表示，由此给出了完整的答案。这些结果将在数论中得到应用。.我们研究了descent构造中的K-type对应，由此给出了零深度超尖表示通过descent方法的具体描述。这一结果可以用来确定超尖表示的Langlands参数。.通过Hecke代数在重数空间上的作用，我们研究了有限域上的theta对应，并有望简化Pan关于有限域上theta对应的相关结果的证明。.此外我们还研究了p-进典型群的幂零轨道的DeBacker参数化和相关的Bruhat-Tits building上的一种函子性。这一结果在研究p-进典型群的表示（特别是超尖表示）的特征标展开时会用到。