多复变数函数空间上的算子理论

This project belongs to the function theory of several complex variables and operator theory. Recently the operator theory of several complex variables function spaces is an international active research field. We will study the compactness of composition operators on the Bloch spaces of the bounded homogeneous domains; study the composition operators on the Bloch spaces of the bounded strongly pseudoconvex domains and the bounded pseudoconvex domains; express the essential norm of composition operators on Bergman spaces and Hardy spaces of the unit ball in terms of an more exact quantity; study Toeplitz operators、Hankel operators and composition operators on the mixed norm spaces of the unit ball. The aim of this project is to bring new actions for the research field and to develop the operator theory of several complex variables function spaces further.

本项目的课题属于多复变数函数论和算子理论，多复变数函数空间的算子理论近年来一直是国际上一个活跃的研究方向。我们将研究有界齐性域上的Bloch空间上的复合算子的紧性；研究有界强拟凸域上和有界拟凸域上Bloch空间上的复合算子；研究单位球上Bergman空间和Hardy空间上的复合算子本性模的更精确的量的不等式表示；研究单位球上混合模空间上的Toeplitz算子、Hankel算子和复合算子。本项目的研究能为多复变数函数空间和算子理论的研究带来新的活力，也将更进一步的丰富和发展多复变数函数空间和算子理论的研究。

我们研究了单位球上不同Bergman空间之间小Hankel算子的本性模问题，该问题是项目负责人和法国著名女学者Aline Bonami教授多年前所合作研究问题的进一步深化。 作为应用, 我们给出了此类算子的有界性和紧性的新的刻画。 我们在R^n中开单位球的调和Bergman空间b^p上引入了一类(p,\delta) -弱局部化算子，我们发现这类算子构成了一个代数并包含了b^p 上的Toeplitz代数。我们给出了这类算子的本性模估计，作为应用, 我们给出了此类算子的紧性的判别准则。 我们研究了单位球上加权Bergman空间和Hardy空间上的等距复合算子问题，这是分析学家W. Rudin当年所研究问题的逆问题，我们发现单位球上加权Bergman空间上的复合算子是等距算子，\varphi只能是旋转变换; 单位球上Hardy空间上的复合算子是满的等距算子，\varphi也只能是旋转变换。我们给出了Siegel上半空间上的Bergman型算子L^p-L^q的有界性的刻画,这是这类算子已知结论在高维情形的研究. 我们得到了Siegel上半空间上的Bergman- Cauchy–Szegö投影的 算子范数的多种估计，作为一个副产品，我们给出了Siegel上半空间上的一类积分算子的L^p 算子范数的精确值。 我们给出了单位球上Cauchy变换的算子范数的下界值，由此我们提出了关于此类Cauchy变换的算子范数的精确值的一个有意义的猜想。 我们给出了实单位球上一类实用积分的加强版的Forelli-Rudin型估计。