时滞系统的多重稳定性与随机稳定性研究

时滞系统是近年来微分方程与应用动力系统领域一个非常活跃的研究热点。多重稳定性与随机稳定性是时滞系统稳定性研究中具有挑战性的前沿课题。.本项目研究两个内容：（I）时滞系统的多重稳定性。利用系统的不变区域分解来研究多个平衡点和多个周期解的存在性与共存性，突破传统的Lyapunov第二方法，通过构造适当的序锥研究多重稳定时滞系统的稳定域、吸引域；运用时滞系统的Poincare-Bendixson理论研究平衡点和平衡点以及平衡点和周期解之间异宿轨的存在性；（II）时滞系统的随机稳定性。放弃使用传统的常数变易方法，运用Borel-Cantelli定理、半鞅理论和比较原理等理论方法来研究系统的几乎必然指数稳定性、幂率稳定性、p阶矩指数稳定性及不稳定性等。.本项目的研究将形成有创新意义的研究时滞系统多重稳定性和随机稳定性的思路和方法，对丰富时滞系统稳定性理论有比较重要的意义。

时滞系统的多重稳定性和随机稳定性研究是近年来应用动力系统领域一个非常活跃的研究热点。本项目综合运用时滞微分方程稳定性理论、单调动力系统理论、随机微分方程稳定性理论和线性矩阵不等式（LMI）方法等相关知识，对几类具广泛应用背景的时滞系统的稳定性、多重稳定性、Hopf分支、随机稳定性、时滞耦合系统的全局同步与控制等一系列重要问题展开研究。. 本项目的创新性研究涵盖如下三个主要方面：（I）、突破传统的几何观察法和Lyapunov第二方法，利用单调动力系统和泛函微分方程稳定性理论对具有单峰的非单调反馈的Allee效应的时滞系统的多重稳定性进行了细致研究。利用时滞微分方程稳定性理论和线性矩阵不等式（LMI）方法对时滞切换系统的吸引子的存在性进行了研究；运用中心流形和规范性理论对时滞微分方程经济模型平衡点的稳定性和Hopf分支进行了细致研究；（II）、放弃使用传统的Razumikhin-type 定理和半鞅收敛定理，运用Borel-Cantelli定理、Burkholder-Davis-Gundy不等式对解的样本轨道Lyapunov 指数直接进行估计来细致研究时滞系统的随机稳定性；（III）利用牵制-脉冲控制的思想，研究了一类具有变化时滞和分布时滞的切换神经网络与动力系统的全局同步控制问题；研究一类具有复杂耦合的反应-扩散网络系统全局指数同步的新判别方法；研究了一类具有马尔科夫跳的随机耦合时滞神经网络动力学模型的同步分析。建立了若干与时滞相关的判别准则，较大地推广了一系列现有结果。 . 到目前为止，我们在Journal of Differential Equations、SIAM Journal on Control and Optimization、IEEE Transactions on Circuits and Systems-I 等高影响的国际权威刊物上发表科研论文SCI收录28篇，引起了国际同行的关注，4篇论文被美国 ISI Web of Science 的基本科学指标ESI(Essential Science Indicators)列为学科前百分之一(Top 1%)的高引用论文，圆满地完成了本课题预定的各项计划任务。我们的研究形成了若干有创新意义的研究时滞系统多重稳定性和随机稳定性的思路和方法，对丰富时滞动力系统稳定性理论有比较重要的意义。