具有分数扩散的多孔介质方程解的研究

由于具有分数扩散的多孔介质方程在数学理论和物理实际等方面都极其重要，所以最近包括Caffarelli和Vazquez等在内的许多著名数学家都对这些方程给予了极大的关注。.在本课题中，我们主要利用抛物与椭圆型偏微分方程的现代理论和调和分析技巧等研究具有分数扩散的多孔介质方程解的长时间渐近行为、正则性等问题，并对具有对流项的分数扩散多孔介质方程，研究其弱解的整体存在性以及在临界和超临界情形强解的爆破准则等。.通过对这些热点问题和尚未完全解决的公开问题进行研究，我们希望在未来几年内能够取得在国内外具有一定影响的成果，并促进我们这个年轻队伍的学术成长以及研究生培养，为以后更深入的工作奠定基础。

本项目主要利用抛物（椭圆）型偏微分方程的现代理论和调和分析技巧等研究了在流体力学、生物数学等领域中提出的具有分数扩散的多孔介质方程及相关模型的数学理论，重点研究了这些方程解的整体存在与有限时刻爆破、正则性准则、衰减估计和自由边界等。通过三年的研究，主要取得了如下几方面的研究成果：.(1) 利用能量方法和正则化理论建立了具有流体项或非线性趋化的多孔介质方程解的整体存在性；.(2) 给出了非齐次介质中多孔介质型抛物方程自由边界的渐近行为，特别是给出了临界情形的刻画；.(3) 利用各向异性的Besov空间技巧建立了不具有磁扩散的 MHD 方程小初值经典解的整体存在性与衰减估计；.(4) 利用Littlewood-Payley分解建立了具有分数阶扩散的 Boussinesq 方程解的全局正则性；.(5) 利用能量方法和Littlewood-Payley分解等技巧系统地研究了具有两分量的高维Euler-Poincare方程的适定性。.基于这些研究成果，项目负责人已在 J. Funct. Anal.、Int. Math. Res. Not.、Disc. Cont. Dyn. Sys.-A、IMA J. Appl. Math.等期刊发表相关学术论文11篇（另投稿8篇）。这些研究内容是当前偏微分方程研究中的前沿和热点问题，在数学理论和应用科学中都具有重要意义，相关的研究成果得到了国内外同行的高度评价和广泛引用。