量子群与Tewilliger代数的相关问题研究

The main purpose of this project is to study the structure and representations of quantum group, to construct weak Hopf algebra and discuss its representations, and to build Leonard pairs, Leonard pairs and Leonard system of n elements. We begin with constructing weak Hopf algebra by replacing reversible condition with the regularity condition and discussing the solution of quantum Yang-Baxter equation. On the other hand, we will construct (super) quantum groups by the solution of quantum Yang-Baxter equation and the method of FRT. Furthermore, we will use finite dimensional representation and some special semi-lattices, lattices to consider Leonard pairs, Leonard pairs and Leonard systems of n elements, study its related properties and classification.

本项目主要目的是研究量子群的结构和表示，构造弱Hopf代数并研究其表示理论，利用量子群和弱Hopf代数的表示构造Leonard对、Leonard n元对、Leonard n元对系统。首先，将可逆条件弱化为正则条件构造弱Hopf代数实例，通过研究其结构和表示给出量子Yang-Baxter方程的解。其次，利用Yang-Baxter方程的解和FRT方法构造量子(超)群。此外，利用量子群、弱Hopf代数的有限维表示以及一些特殊的半格、格构造Leonard n元对、Leonard n元对系统并对其相关性质及分类进行研究。

本项目围绕量子群与Terwilliger代数的相关问题展开研究。对双参数量子群Ur,s(osp(1,2n)) 的结构和表示开展研究，构造出相应的R-矩阵，为量子Yang-Baxter方程提供一个解，也为利用FRT-方法构造量子群提供了帮助；在利用量子群的表示构造Leonard对方面，研究了量子群vq(sl2)的有限维表示，首次利用量子群vq(sl2)的生成元定义线性变换，从而得到一些Leonard对，并给出它们的分类；在Leonard三元组的研究上，对Hamming 图 H(d, q)对应的Leonard对B、B*的进行研究，确定了所有的矩阵Bε，使得B、B*、Bε构成Leonard 三元组，推广了Jose Maria等人构造Leonard三元组的结果；此外，在研究利用半格构造Leonard对时，得到了压缩感知矩阵、组合批处理码，这部分是预定研究任务的拓展；在组合学的池设计方面，受Ngo-Du利用向量空间的子空间构造池设计的启发，利用子空间上的双线性型构造了一类新的池设计，虽然所构造的池设计与Ngo-Du他们构造的池设计有相同的容错力，但我们构造的要比Ngo-Du他们构造的更经济、更节省。项目实施期内完成高质量论文6篇，其中SCI检索3篇(已发表)，EI检索1篇(已发表)，已投SCI期刊论文1篇(审稿中)，正在投稿的论文1篇。项目研究过程中，在利用弱Hopf代数的表示构造量子Yang-Baxter方程的解上，我们虽然取得了初步的研究成果，但尚未形成研究论文，这需要后续进一步研究。