仿射量子Schur代数与Hall代数

Affine quantum Schur algebras play important roles in representation theory of algebras. They play central roles in linking the structure and representation theories of affine Hecke algebras and affine quantum groups of type A. Hall algebras are isomorphic to the positive part of quantum groups. Then in this perspective there is a link between the the representation theory of qivers and quantum groups. In this project we will give a connection between the constants of affine quantum Schur algebras and the constants of Hall algebras of cyclic quivers, check the affine cellularity of affine quantum Schur algebras, and we also study the irreducible representations of affine 0-Schur algebras..We have given a connection between the costants of quantum Schur algebras and the constants of Hall algebras of Dynkin quivers by using representations of a class of finite posets . On this basis, we want to give a connection between the constants of affine quantum Schur algebras and the constants of Hall algebras of cyclic quivers by using representations of a class of infinite posets. We also want to construct all the irreducible representations of affine 0-Schur algebras and give a connection between the characters of these irreducible representations and the noncommutative symmetric functions and quasi-symmetric functions.

仿射量子Schur代数的结构及表示在代数表示论中备受关注。它和仿射A型Hecke代数、仿射A型量子群的结构与表示理论紧密相连。Hall代数作为量子群正部分的最佳实现模型建立了箭图的表示范畴与量子群的联系。本项目主要是建立仿射量子Schur代数的结构常数与循环箭图Hall代数的结构常数之间的联系，并从该视角出发判断仿射量子Schur代数是否具有仿射胞腔性质,以及研究其退化形式（仿射 0-Schur代数）的不可约表示。.申请人与合作者已经利用一类有限偏序集的表示范畴建立了量子Schur代数与A型Dynkin箭图Hall代数在结构常数上的联系。在此基础上我们在本项目中计划利用一类无限偏序集的表示范畴研究仿射量子Schur代数与循环箭图Hall代数在结构常数上的联系。同时希望构造出仿射 0-Schur代数的所有不可约表示，建立不可约表示的特征与非交换对称函数及拟对称函数之间的联系。

仿射量子Schur代数与仿射A型Hecke代数、仿射A型量子群的结构与表示理论紧密相连。我们在本项目中研究了仿射量子Schur代数的仿射胞腔及仿射拟遗传结构。证明了n=r=2情形下仿射Schur代数具有仿射胞腔结构，并且整体维数有限。我们同时证明了一般情形下的仿射Schur代数具有仿射拟遗传结构，给出了仿射Schur代数的不可约表示的新的指标集，并且建立了这个指标集与已知指标集之间的一一对应。在仿射胞腔代数方面，我们证明了一般的仿射胞腔代数在特定条件下（即与仿射胞腔代数的对合相容）具有Morita等价不变性质，即如果两个代数是Morita等价的，且已知一个为仿射胞腔代数，则另一个也为仿射胞腔代数。我们在本项目中还研究了0-Hecke代数、0-Schur代数与标准基代数之间的联系，证明了0-Hecke代数及0-Schur代数均为标准基代数，并且对称0-Hecke代数的中心的维数不小于其单模个数。在Nil-Coxeter代数与Nil-Ariki-Koike代数方面，我们刻画了这类代数的单模，确定了它们的表示型分类，同时给出了nil-Ariki-Koike代数的中心，证明了nil-Ariki-Koike代数的中心由其多项式子代数中的对称多项式生成。