图的基于谱矩的拓扑指标的性质及其应用研究

The topological index of graph is not only an important research topic in graph theory, but also has a wide range of applications in complex networks, chemistry, biology and so on. This project studies the following scientific problems in the mathematical properties and applications of various topological indices of graphs based on spectral moments (such as the Estrada and (signless) Laplacian Estrada indices, the resolvent Estrada index，the resolvent energy, etc. ) by effectively using and integrating the mathematical tools in Graph Theory, Operation Research and Matrix Theory. (1) Extremal values and the upper and lower bounds for these indices will be deeply investigated by integrating methods of extremal graphs, which will give us a better understanding of the dependence on the structure of the molecular graphs; (2) several sufficient conditions that a graph contains certain structural properties (for example, a graph is maximally edge-connected, k-connected, k-hamiltonian and so on) will be given by using these indices; (3) the quantitative relationships between these topological indices, and the relationships between them and other parameters of the graph (such as energy, signless Laplacian energy, etc.) will be investigated. The research results of this subject will be applied to complex networks and chemistry, and will have a brilliant prospect in application.

图的拓扑指标不仅是图论中一个重要的研究课题，而且在复杂网络、化学和生物学等领域有着广泛的应用。本项目充分利用图论、运筹学以及矩阵论等数学知识，研究图的基于谱矩的各类拓扑指标（如图的Estrada指标、（signless）Laplacian Estrada指标、resolvent Estrada指标和resolvent energy等）的性质及其应用中的如下科学问题：（1）结合极值图论的方法，深入研究图的参数给定时这类指标的极值和上下界问题，这将为我们进一步了解它们对分子图的结构的依赖性提供理论依据；（2）利用这些指标给出一个图含有某个结构性质（如一个图是极大边连通的、k-连通的和k-哈密尔顿的等）的充分条件；（3）研究图的这几类拓扑指标之间的数量关系，并建立它们与图的其它参数（如图的能量和无符号拉普拉斯能量等）之间的关系。本课题的研究成果将可应用于复杂网络及化学等方面，具有广阔的应用前景。

图谱理论是图论中一个重要和非常活跃的研究课题。图的谱矩作为一类重要的代数不变量，在复杂网络、化学和生物学等领域有着广泛的应用。本课题利用图论、运筹学以及矩阵论等数学知识，主要研究图的基于谱矩的若干拓扑指标（如图的Estrada指标、（signless）Laplacian Estrada指标、Sombor指标和Sombor Estrada指标）的极值和上下界问题，以及它们与图参数之间的关系。取得的重要结果包括：1. 通过在途径构成的集合之间构造单射，给出了如何比较一个图中以不同点为起点的闭途径以及起点相同而终点不同的途径个数的方法。结合极值图论的研究方法，我们给出了图的Estrada指标和signless Laplacian Estrada指标的极值方面的结论，这可为我们进一步了解它们对分子图的结构的依赖性提供理论依据。2. 利用这几类拓扑指标的定义、不等式的缩放和一些数值不等式，建立了它们与图参数（如最小度、特征值和能量等）之间的数量关系，借此给出了它们的上下界。3. 利用给定拓扑指数的定义和图结构的性质，采用图操作、分析和优化技术等手段，研究了图的Sombor index和degree resistance distance的极值问题。在项目执行期间项目组在国内外学术期刊共发表4篇SCI论文。本项目的研究成果可应用于复杂网络及化学等方面，且有助于我们理解图的基于谱矩的拓扑指标的数学性质，丰富和发展极值图论的研究方法和成果。