图的基于距离的谱性质研究

The theory of distance-based spectra of graphs is an important content in modern algebraic graph theory and combinatorial matrix theory. In this project, we will study the following problems: .(1) the extremal graph characterization of the second distance eigenvalue and least distance eigenvalue among graphs with prescribed parameters, and their applications in distance spectral spread and distance spectral gap;.(2) the new graft transformation of the distance (signless) Laplacian spectral radius with its extremal graph characterization among particular types of graphs or graphs with prescribed parameters;.(3) the value estimation and extremal graph characterization of the second least distance Laplacian eigenvalue and least distance signless Laplacian eigenvalue, and their applications in distance (signless) Laplacian spectral spread. .The applicant has obtained some preliminary results on the distance eigenvalues and distance signless Laplacian eigenvalues. The research and solution to these problems can provide not only constructions to the theory of distance-based spectra of graphs, but also important theoretic references for practical applications.

图的基于距离的谱理论是当前代数图论与组合矩阵论共同关注的一个重要研究方向。本项目计划研究以下几个方面的问题：.（1）研究给定参数的图类中第二距离特征值、最小距离特征值的极图刻画，及其在距离谱隙、距离谱展中的应用；.（2）构造距离（无符号）拉普拉斯谱半径的图变换，研究特殊图类或给定参数的图类中距离（无符号）拉普拉斯谱半径的极图刻画；.（3）研究第二小距离拉普拉斯特征值、最小距离无符号拉普拉斯特征值的取值估计和极图刻画，及其在距离（无符号）拉普拉斯谱展中的应用。.申请人在距离特征值与距离无符号拉普拉斯特征值方面已取得一些初步的研究成果。这些问题的研究和解决既能为完善图的基于距离的谱理论作出贡献，也能对实际应用提供重要的理论依据。

图的基于距离的谱理论是当前代数图论与组合矩阵论共同关注的一个重要研究方向。本项目计划研究图的基于距离的谱理论，取得以下成果：.（1）利用强连通有向图的各分块指数距离矩阵的行列式，给出其指数距离矩阵行列式的表达式；对强连通有向图的q-类比距离矩阵和指数距离矩阵的行列式和代数余子式之和之间的关系进行探究；并给出与q-类比距离矩阵和指数距离矩阵谱相关的一些Graham-Hoffman-Hosoya型的结论。.（2）给出块图的q-类比距离矩阵的行列式和逆矩阵表达式，并将此结果进行拓展，推导得出一致块图q-类比距离矩阵的逆矩阵，以及一些已有的结论。.（3）给出块图的指数距离矩阵的行列式、逆矩阵和代数余子式之和的表达式，并讨论块图的指数距离矩阵与q-拉普拉斯矩阵之间的关系。