伪随机二进制数列的设计与分析

随着应用数学与计算机科学的发展，伪随机二进制数列得到了广泛的应用。在实际应用中，当需要伪随机二进制数列时，人们通常利用硬件设备或数学方法来获得所需数列。然而对于得到的数列，人们往往不知道其伪随机性如何，而只能通过实验检测其性质。因此若能事先构造出一些伪随机二进制数列，并从数学理论上研究其伪随机性，无疑是有意义的。申请者已经取得较好的成绩，拟在该领域进一步深入研究。.在本项目中我们将利用数论方法研究伪随机二进制数列的设计与分析，具体来说我们将给出一些新的伪随机二进制数列以及伪随机二进制格点并研究其伪随机性，此外把一到两类素数模上的伪随机二进制数列推广到合数模上，以及构造出几种新的椭圆曲线上的伪随机二进制数列。我们希望，通过研究伪随机二进制数列的设计与分析，数论中相关的领域能得到更大的推动，数论与密码学能更紧密的结合在一起。

随着信息科学与网络的发展，伪随机二进制数列得到了广泛的应用，并已成为密码学的一个基本工具。基于这些事实，若能事先构造出一些伪随机二进制数列，并从数学理论上研究其伪随机性，无疑是有意义的。. 本项目利用数论方法来研究伪随机二进制数列的设计与分析。具体来说，我们构造了几类较好的伪随机二进制数列与格点并讨论了相关性质；把一些二进制数列推广到合数模上，并改进了已有的估计；引入了二进制数列上的Gowers范数，研究了一些伪随机子集的性质；给出了一大类具有较强伪随机性的椭圆曲线二进制数列，并研究了其一致分布、相关性、线性复杂度、碰撞、雪崩效应等性质。另外，我们还研究了指数和、特征和、广义Kloosterman和、高阶Bernoulli数、二次Gauss和、Dedekind和、Cochrane和等数论函数的均值，并得到了一系列的恒等式和渐近公式。. 我们希望，通过研究伪随机二进制数列的理论及其应用，数论中更多的领域能得到推动，数论与密码学能更紧密的结合在一起。