基于数论方法的伪随机二进制数列及相关问题的研究

With the rapid development of information technology and computer networking, pseudorandom binary sequences have many applications and become vital tool in cryptography. In this project we will study the pseudorandom binary sequences and related problems by using number theoretic methods, such as sieve method, estimates for character sums and exponential sums. We will construct pseudorandom binary sequences, lattices, Boolean functions and subsets suited to secure cryptosystems, and analyse the properties of pseudorandom sequences based on reliable mathematics by introducing Gowers norms, and test the statistical properties of pseudorandom sequences, and estiblish the connections among the unpredictability of sequences, large integer factoring problem and discrete logarithm problem. By practicing this project, we hope that there will be some important breakthrough in the study of pseudorandom sequences, and ralated fields in number theory and cryptography will be developed.

随着信息技术与计算机网络的飞速发展，伪随机二进制数列得到了广泛的应用，并已成为密码学的一个基本工具，在构造密码系统中起着决定性的作用。本项目拟利用筛法、特征和与指数和的估计等数论方法来研究伪随机二进制数列及其相关问题。主要包括：构造适用于安全密码系统的伪随机二进制数列、格点、布尔函数与整数环的子集；引入加法数论中的Gowers范数等工具对伪随机数列的性质进行深入的分析，进而把伪随机数列的安全性建立在可靠的数学基础上；研究并测试伪随机数列的统计性质；建立数列的不可预测性与大整数分解、离散对数等之间的联系。通过本项目的实施，以期在伪随机数列理论研究的某些方面有所突破，从而能推动数论与密码学相关领域的发展。

随着信息技术与计算机网络的飞速发展，伪随机数列得到了广泛的应用，在构造密码系统中起着决定性的作用。本项目利用数论方法设计了一系列新的伪随机数列、格点、子集与布尔函数，并深入研究了其性质。具体来说,我们基于Whiteman，Ding-Helleseth广义割圆类，构造了一些伪随机k元序列和二元序列。综合应用数论中的三角恒等式、指数和、特征和的估计，研究了序列的一致分布测度、相关性、自相关值、线性复杂度、碰撞与雪崩效应等性质。利用素数模上的乘法逆以及广义hyper-Kloosterman和的估计，给出了两类伪随机二进制格点，并研究了其性质。利用有限域中的多项式和伪随机子集构造了大族的布尔函数，并研究了其密码学性质：最大Fourier系数、非线性、平均灵敏度、稀疏性、碰撞与雪崩效应等等。研究了整数环子集上的Gowers范数以及一些伪随机测度之间的关系，引入了多维伪随机子集，并研究了相应的伪随机测度的性质。利用费尔马商构造了伪随机子集，并利用多项式特征和的估计来研究了其性质。研究了数论中著名的广义Kloosterman和、Hardy和、三项指数和的算术性质与均值性质，得到了一系列的恒等式与渐近公式。此外我们给出了Lehmer问题和Woods问题在短区间的并集中的推广。通过研究伪随机数列和子集的设计与分析，数论中更多的领域能得到推动，数论与密码学能更紧密的结合在一起。