两分量和高维浅水波方程的适定性及控制

Shallow water wave equations are always concerned greatly by Mathematicians as a kind of important partial differential equations. Most of them are integrable systems, and the spreading of tsunamis can be described by them. In this project, we mainly consider the well-posedness and control of two-component and higher dimensional shallow water wave equations. Firstly, we study the blow-up of solutions to a two-component Camassa-Holm system in higher dimensions, more precisely, establish what kinds of initial data can lead to the blow-up of solutions. Secondly, we discuss the global existence of strong solutions to the Cauchy problem for a generalized two-component Camassa-Holm system, and establish the effects of free parameter in the global existence results. Thirdly, we prove the global existence of weak solutions to a higher dimensional Camassa-Holm equation. Lastly, we consider the controllability and stabilization of the above two-component and higher dimensional shallow water wave equations for spatial-periodic case and initial boundary value case.

浅水波方程作为一类重要的偏微分方程一直备受数学家们的关注，这些方程大多是可积系统，海洋中海啸的传播也可以通过这些方程来描述。本项目主要考虑两分量和高维浅水波方程的适定性和控制，具体包括如下四个问题：一是研究一类高维两分量Camassa-Holm系统Cauchy问题的爆破，确定爆破时初值满足的充分条件；二是讨论一类广义两分量Camassa-Holm系统Cauchy问题整体强解的存在性，刻画方程中自由参数对解整体存在性的影响；三是证明高维Camassa-Holm方程整体弱解的存在性；四是考虑上述两分量和高维浅水波方程在空间周期情形和有界区域上初边值情形下的能控性和能稳性问题。

偏微分方程来源于几何、物理和生物等不同领域。浅水波方程在物理上可以描述浅水表面波的单向传播和海洋中海啸的传播，在几何上可以描述Lie群上由度量诱导的测地流。这类方程大多是可积系统，其中著名的有Camassa-Holm方程和KdV方程。本项目主要研究了Camassa-Holm型方程和两分量Camassa-Holm型系统解的适定性及其控制问题，包括两分量高阶Camassa-Holm系统强解的适定性、爆破和强解关于初始值的连续性质，以及一类带弱耗散的广义Camassa-Holm方程整体弱解的适定性。 此外，本项目还研究了反应扩散系统的自由边界问题，证明了解的整体适定性和长时间行为。在本项目的研究中，我们在如下几个方面取得了一定进展：对于两分量高阶Camassa-Holm系统，我们给出了一个用于估计乘积函数在Sobolev型空间的不等式，改进了原有的空间指标范围，从而给出了强解关于初始值的Holder连续性；对于带弱耗散的广义Camassa-Holm方程，我们定义了一个带有权重的Radon测度来克服弱耗散项的影响，证明了整体弱解的存在唯一性，该结果不需假设初始值满足正的Radon测度，改进了已有结果；对于反应扩散系统的自由边界问题，我们确立了具有三阶多项式的超越方程实根和复根的分布，证明了时滞半波问题单调解的存在唯一性，得到了自由边界的传播速度。总之，本项目的研究成果丰富了偏微分方程的理论研究和应用，对后续该领域中浅水波方程和自由边界问题的研究具有一定的参考价值。