两类分数阶发展方程解的适定性及吸引子

This project is devoted to the well-posedness of solutions and the long time asymptotic behavior of solutions semigroups for a class of the fractional evolution equations in the appropriate functional spaces by using the methods Fourier analysis. By employing Littlewood-Paley theory and Strichartz estimates, we investigate the well-posedness of solutions to the fractional reactin-difusion equation in the critical Besov space, the wave equation with the fractional damping term and critical growth exponent and the existence and regularity of the invariant manifolds in the vicinity of an equilibrium and attractor for two classes of such equations. These problems are not only frontier in the fields of PDEs but also concerned about infinite dimensional dynamical systems. It is expected that the proposed studies will lead to a better understanding of the fractal order evolutionary equations arising from applied science.

本项目利用Fourier分析方法研究空间分数阶发展型方程在合适的函数空间中解的适定性以及解半群的长时间渐近行为问题。通过利用Littlewood-Paley 理论和Strichartz 估计，研究分数阶反应扩散方程在临界Besov空间中解的适定性，研究带有分数阶阻尼且具有临界增长指数的波方程解的适定性以及这两类方程在平衡点附近不变流形和吸引子的存在性、正则性，这些问题是偏微分方程领域的前沿问题，也是无穷维动力系统领域所关心的问题，可望本项目能够帮助人们更好的理解出现在应用科学中的分数阶发展方程。

Fourier分析方法在线性和非线性偏微分方程的研究中起着非常重要的作用。特别地，Littlewood-Paley分解和仿积分解技巧在偏微分方程的研究中相当有效。本项目通过利用Littlewood-Paley理论和能量估计方法，研究了带有平移有界外力的分数阶反应扩散方程在相空间中解的适定性和长时间动力学行为和Gray-Scott方程组解的动力学行为，研究三维Navier-Stokes-Maxwell方程组和只具有水平耗散和水平磁扩散的三维不可压磁流体方程组在大初值下解的整体适定性。最后，对于不可压无粘性非牛顿流体方程组证明了解的局部适定性以及BKM爆破准则，并得到了解的无粘性极限，这些问题是偏微分方程领域的前沿问题，也是无穷维动力系统领域所关心的问题，本项目的研究能够帮助人们更好的理解出现在应用科学中的发展型方程。