区间[-1,1]上的加权Sobolev函数类在两种不同框架下的逼近问题

This proposal is devoted to investigating the weighted approximation of functions on the interval [-1,1] and the simplex T^d in the worst and average case setting. We will estimate the asymptotic order of the Kolmogorov and linear widths of weighted Sobolev classes and the asymptotic orders of the average error estimations. The results of the average case setting should match practical experience more closely. These results are widely used in approximation theory, computational complexity and harmonic analysis.

本项目主要研究在最坏框架下[-1,1]上带有Jacobi权的Sobolev类的宽度问题，以及平均框架下[-1,1]上和单纯形T^d上的加权Sobolev空间的函数逼近问题，给出两种框架下Sobolev空间的函数逼近、宽度、最优求积及最优恢复的渐近阶，再通过比较两种不同框架下函数的逼近和恢复的异同点，说明平均框架更接近实际应用。研究内容在函数空间理论、逼近论、数值分析、计算复杂性等领域都有重要的理论意义和广泛的应用价值。

本项目主要研究了在最坏框架下[-1,1]上带有Jacobi权的Sobolev空间的宽度问题，以及平均框架下[-1,1]上加权Sobolev空间的函数逼近问题。在最坏框架下得到了加权Sobolev空间在加权的L_q (1≤q≤∞)空间中的Kolmogorov宽度和线性宽度的渐近最优阶。在平均框架下得到了加权Sobolev空间被多项式子空间和Fourier部分和算子逼近的平均误差估计的渐近阶。并且比较了两种不同框架下函数逼近的异同点，发现了在平均框架下多项式子空间和Fourier部分和算子在加权的Lebesgue空间尺度L_q下只有当q小于某一临界值时是渐近最优的线性子空间和渐近最优的线性算子。另外，还研究了在概率框架下，球面S^d上的函数逼近，证明了Fourier部分和算子和Vall$\acute{e}$e-Poussin算子在Lebesgue空间尺度L_q(1≤q≤∞)下是阶最优的线性算子，球面多项式子空间在Lebesgue空间尺度L_q(2<q≤∞)下不是阶最优的子空间，并与相应的最坏框架下和平均框架下的结果做了比较。.　　已在《中国科学：数学》杂志发表1篇文章，SCI杂志接收1篇文章，另外完成1篇论文。研究成果在函数空间理论、逼近论、计算复杂性等领域都有重要的理论意义和应用价值。