双极半导体模型和相关流体力学方程的数学问题

双极半导体宏观模型和相关的流体力学方程,都是非常典型的非线性藕合偏微分方程组, 有非常强的物理及工程背景。它们既有双曲特征,又有椭圆特征,甚至还有抛物特征。本项目主要运用现代偏微分方程的相关理论,方法和技巧,对双极漂移-扩散方程,双极等熵和非等熵(量子)Euler-Poisson方程,Navier-Stokes-Poisson方程以及Navier-Stokes -Poisson-Korteweg方程的若干数学问题进行研究。依次讨论稳态解的适定性,整体强解和光滑解的适定性,这些解的结构以及整体强解和光滑解的长时间行为，收敛估计,甚至这些解的极限分析(松弛时间极限,零电子质量极限,拟中性极限和半经典极限及某些联合极限等),得到若干重要的数学结果。通过这些结果,我们相信它们既能充实非线性偏微分方程组的理论,也能为数值计算和工程应用提供理论支持和检验尺度。

在过去的40年，由于在应用物理和应用数学中的重要性，许多作者已经建立和研究了半导体方程。它是双曲和椭圆耦合，甚至是双曲、抛物和椭圆耦合的方程组，能够描述带电粒子的运动。同时，经典的Navier-Stokes方程也被修正，以便于更精细地描述流体的运动，得到Navier-Stokes-Poisson方程、Navier-Stokes–Korteweg方程和Navier-Stokes-Poisson -Korteweg方程。本项目主要对双极等熵和非等熵(量子)Euler-Poisson方程，漂移-扩散方程，Navier-Stokes-Poisson方程以及相关的Navier-Stokes方程，Navier-Stokes–Korteweg方程和Navier-Stokes-Poisson-Korteweg方程做了若干的数学分析。具体地说，我们依次讨论：多维双极Euler-Poisson 方程的无漩（和有漩）稳态解的存在唯一性以及相应的极限分析；一维和多维等熵和非等熵双极Euler-Poisson 方程的初值问题的光滑小解收敛到相应扩散波的最佳收敛率和逐点估计以及相应的极限分析；一维和多维等熵和非等熵双极Euler -Poisson 方程的初边值问题的局部光滑解的存在唯一性，整体光滑解的存在唯一性和扩散波现象；有外力项的Navier-Stokes-Poisson 方程的稳态解的存在唯一性和稳定性，以及整体解的最佳衰减估计；多维双极Euler-Poisson 方程的Cauchy 问题在Besov 空间的适定性；一维量子双极Euler-Poisson 方程的初边值问题的解的整体存在性以及相关的极限分析；一维和多维经典和量子双极漂移-扩散方程的初边值问题的光滑解的整体存在性和这些解的极限分析；可压Navier-Stokes-Poisson 方程的初值问题和初边值问题的强解的适定性和它们的性态分析； Navier-Stokes-Poisson-Korteweg 方程的初值问题的光滑解的适定性和拟中性极限及某些联合极限；一维等熵量子双极Euler-Poisson 方程的半空间初边值问题的局部光滑解的存在唯一性，整体光滑解的存在唯一性和扩散波现象。通过四年的努力，我们已经得到若干重要的数学结果。通过这些结果,我们相信它们既能充实非线性偏微分方程组的理论,也能为数值计算和工程应用提供理论支持和