几类空间上的线性混沌研究

This project is related to the complexity of dynamic systems. The chaoticities of linear operators on Kothe sequence spaces and Frechet spaces are researched. And the chaoticity of translation semigroup is further discussed. Specifically, this project studies three aspects. 1. The forms of Kothe matrix which correspond to the chaotic behavior of weight shift operators are considered. 2. Some equivalent conditions for Li-Yorke chaoticity or distributional chaoticity of linear operators on Frechet spaces are searched. Some sufficient conditions for that the linear operators have invariant Li-Yorke scrambled subsets or invariant distributional scrambled subsets (linear manifolds, linear subspaces) are searched. 3. The chaoticity of translation semigroup on L^{P}-spaces is studied. Using the properties of weight function, the equivalent conditions or the sufficient conditions for the chaotic behavior of translation semigroup are searched.. We hope that this project will open up some approaches to the study of chaos or provide some methods for the study of operators.

本项目研究线性动力系统的复杂性，主要考查Köthe序列空间和Frechet空间上线性算子的各类混沌性，同时更加深入的研究平移半群的混沌性质。具体的说，本项目研究如下三个方面的内容：1. 寻找Köthe序列空间上权移位算子的各种混沌行为对应于Köthe矩阵的表现形式；2. 研究Frechet空间上线性算子的Li-Yorke混沌性和分布混沌性的一些等价刻画，以及寻找该类算子具有不变Li-Yorke混沌子集或者分布混沌子集（线性流形、线性子空间）的一些充分条件；3. 研究权L^{P}-空间上平移半群的混沌性，通过权函数的性质寻找平移半群的各种混沌行为的等价刻画或者充分条件。. 希望通过本项目的研究，为混沌的刻画开辟一些新的途径，或者为算子理论的研究提供一些新的方法。

本项目研究几类系统上线性算子的混沌性，期望为混沌的刻画开辟一些新的途径，或为算子理论的研究提供一些新的方法。. 本项目主要取得了以下研究结果。. 1. 在Frechet空间上定义了强irregular向量，证明了平移半群有强irregular向量意味着它具有序列分布混沌性，且准测度为1。得到平移半群具有分布混沌性等价于平移半群的每一个算子具有分布混沌性。这些结论为继续研究Frechet空间上线性算子的混沌性和平移半群的混沌性打下了基础。. 2. 得到了有关敏感性（初值敏感性、Li-Yorke敏感性和稠Li-Yorke敏感性）、邻近性质和渐进性质、 (F1, F2)-混沌、 w-混沌、拓扑混沌的一些结论，为继续研究Köthe序列空间上权移位算子的混沌性、Frechet空间上线性算子的混沌性、以及其他空间上线性算子的混沌性提供了一些参考。. 3. 考查了上半连续模糊集的传递性、混合性、等度连续性、临近性质等，得到它们与相应的查德扩张的混沌性质一致。这为研究线性算子的Devaney混沌性和不变混沌子集打下一定的基础。. 4. 考查了Multi-敏感、syndetical-敏感、平均跟踪性质，得到几乎周期点稠密意味着Multi-敏感、syndetical-敏感；若满足syndetical-传递，则敏感性和syndetical-敏感等价；此外，还得到连续半流具有平均跟踪性质意味着其逆极限系统也具有此性质。在此基础上今后可以继续研究线性算子的各类敏感性和跟踪性质。. 此项目中还有一些计划研究的问题尚未得到明确结论，在项目开展过程中同时发现了其他值得探讨的问题，需要今后进一步深入研究。