Galois环导出最高权位序列的研究

Galois环导出的最高权位序列因其具有良好的密码特性而被广泛应用于保密通信以及扩频通信中。但是，无法求出序列通项的具体表达式一直是制约对最高权位序列密码特性进行更详细分析、提高刻画精度的最大难点。本项目利用有限域及Galois环理论，并结合组合数学中的相关工具对上述问题进行深入的研究，研究重点分为两个部分：(1) 利用对称多项式基本定理等工具对最高权位序列的通项进行研究，求出其具体的表达式或得到有效的表示方法。进而对已有的关于最高权位序列密码特性方面的研究结果进行更准确地刻画，以更好地指导实际应用；(2) 通过定义合适的Galois环上的线性递归序列，构造新的多元最高权位序列并详细刻画其密码特性。所得到的序列应具有大周期、大线性复杂度和低相关性等良好的密码特性，以满足保密通信以及扩频通信等实际应用的需求。本项目的工作将进一步充实和完善关于Galois环导出的最高权位序列方面的研究工作。

Galois环导出最高权位序列因其具有良好的密码特性而被广泛应用于保密通信以及扩频通信中。本项目对这类序列的各个方面进行了研究，具体包括序列通项的表示方法，序列的构造，序列密码特性的分析及相关结果的改进等。通过三年的研究工作，完成了项目计划内容，所得到的结果有：（1）给出了Galois环上本原序列导出的最高权位序列通项的表示方法。Galois环导出最高权位序列研究的难点在于如何准确地刻画序列通项，在本项目的研究工作中，给出了应用最广泛的环导出序列，即Galois环上本原序列导出的最高权位序列通项的表示方法，具有良好的理论和应用价值；（2）定义了特征为奇素数幂次的Galois环上的不完全指数和，并给出了其非平凡的上界。Galois环上的不完全指数和是对环导出最高权位序列非周期性质进行研究的关键工具之一。在本项目的研究工作中，利用Weil指数和等工具，对特征为奇素数幂次的Galois环上的不完全指数和进行了估计，给出了其更优的非平凡上界；（3）利用特征为奇素数幂次的Galois环上的Kerdock-code序列以及最高权位映射，构造了一类最高权位序列，并对其密码特性进行了分析。结果表明，所构造的序列具有大周期，大线性复杂度，极低的周期互相关性和非同步自相关性，极低的非周期互相关性和非同步自相关性，可用的序列条数众多，以及元素的周期分布、部分周期分布及部分周期独立r-样式分布都是渐进均匀的等良好的密码特性，因此在密码学及通信领域具有良好的应用价值；（4）对Galois环上本原序列导出的最高权位序列的密码特性进行了详细分析。利用（1）中所得到的序列通项的表示方法，对Galois环上本原序列导出的最高权位序列的线性复杂度进行了进一步分析，给出了更优的估计，并通过实例验证了所得到结果的正确性，从而能够更好地满足实际应用的要求。利用（2）中给出的Galois环上不完全指数和的估计，对上述最高权位序列的非周期性质进行了研究，所得到的结果表明此类序列具有极低的非周期互相关性和非同步自相关性，并且其部分周期分布和部分周期独立r-样式分布都是渐进均匀的。上述工作进一步充实和完善了关于Galois环导出最高权位序列方面的研究工作；（5）基于低相关性的Galois环导出最高权位序列，提出了一种情境优先调度算法，该算法能够提高初级情境在普适计算环境中的平均利用率，在智能家居系统中有着广泛应用。