关于弦方程与可积方程簇拓扑解的研究

As a generalization of the Korteweg - de Vries hierarchy, the Drinfeld - Sokolov hierarchies constructed from affine Kac - Moody algebras have significant application in branches of mathematical physics such like Gromov - Witten (GW) theory and Fan - Jarvis - Ruan - Witten (FJRW) theory. In such application, a key role is played by the topological solution of the hierarchy, i.e., the solution determined by the string equation. In this project, we are to study how to compute topological solutions of integrable hierarchies, and to describe symmetric properties of such solutions as well as their applications in geometry and physics. We will mainly consider Drinfeld - Sokolov hierarchies, especially those hierarchies corresponding to twisted affine Kac - Moody algebras applied in GW/FJRW theory.

作为 Korteweg - de Vries 方程簇的推广，从仿射 Kac - Moody 代数出发构造的 Drinfeld - Sokolov 方程簇在 Gromov – Witten (GW) 理论和范辉军 - Jarvis - 阮勇斌 - Witten (FJRW) 理论等数学物理分支中有重要的应用。在这些应用中，扮演关键角色的是方程簇的拓扑解，即由弦方程确定的解。本项目拟研究如何计算可积方程簇的拓扑解，刻画这些解的对称性以及它们反映的几何与物理中的性质。我们的研究将以 Drinfeld - Sokolov 方程簇为主要模型，特别是对应扭的仿射 Kac – Moody 代数的情形在 GW/FJRW 理论中的应用。

可积方程簇由弦方程确定的拓扑解在 Gromov-Witten (GW) 不变量和 Fan-Jarvis-Ruan-Witten (FJRW) 理论等数学物理分支中有重要的应用。本项目研究可积方程簇的拓扑解及相关问题，取得下列成果：（一）通过求解约化弦方程，得到计算非扭仿射 Kac-Moody 代数对应的 Drinfeld-Sokolov 方程簇的拓扑解的一般方法，并利用这个方法计算 E6 型情形的拓扑解从而得到相应的低亏格 FJRW 不变量；（二）利用仿射 Dynkin 图的对称，证明扭的仿射 Kac-Moody 代数对应的 Drinfeld-Sokolov 方程簇能够由非扭情形约化得到；（三）构造拓广 KP 方程簇 （能够约化到 KP 方程簇与 2-BKP 方程簇）底下的无限维 Frobenius 流形，把该方程簇表示成 Baker-Akhiezer 函数满足的双线性方程，并写出它的附加对称；（四）刻画一些 GW不变量在 blow-up 下的变化性质，以及对应李超代数的 Knizhnik-Zamolodchikov 方程解的性质。