三维空间多项式向量场的分支问题

本项目研究三维空间向量场的几何性质与分支问题，主要内容包括：1、利用平面向量场分支理论，研究三维空间齐次和拟齐次向量场的孤立闭锥个数；2、如果三维空间向量场的最低次项对应的m 次齐次系统是结构稳定的，其在原点的拓扑结构是否与m次齐次系统在原点的拓扑结构等价？3、奇点的Hopf分支； 4、三维空间的弱化的Hilbert十六问题；5、作为应用，我们还将利用三维空间向量场分支理论和奇异摄动理论研究生态数学中出现的高维动力系统模型。 . 对于平面向量场，已经出版了许多教科书和专著，各种巧妙的工具和理论早已建立。但对于三维以上的空间系统，至今尚无一般性的理论和方法，其动力学性质远比平面系统复杂，同时在应用方面也更广泛，更值得我们做进一步的研究和探讨。因此，研究空间系统的动力学性质，有重要的理论意义、学术价值和应用前景。

本项目研究三维空间向量场的几何性质与分支问题，主要成果有：研究了三维退化奇点分支出的孤立闭轨个数和Hopf分支，以及一类扩展的拟齐次系统的极限环个数上界；讨论了三维May-Leonard系统的二次扰动系统的极限环个数上界；分析了几类三维生物数学模型的全局动力学行为。除此以外，我们还研究了两类六维生物数学模型的性质，以及平面系统的分支问题及极限环个数。. 对上述问题的研究，有助于我们理解高维动力系统的性质，有一定的学术意义和应用价值。