非线性期望及其应用

The purpose of this project is to study the theory of nonlinear expectations and their applications, which was introduced by Shige Peng about ten years ago, is now one of the most important branches of probability theory. In the Wiener probability space, through classical Feynman-Kac formula and backward SDEs, one can only give probabilistic interpretations for linear and quasi-linear PDEs. By establishing the theory of non-linear expectations, Shige Peng attempts to study fully nonlinear PDEs by probabilistic methods, i.e., converting the study of PDEs to that of backward SDEs under nonlinear expectations. The latter is one of the main contents we shall concentrate on in this project. To do so, we first need to address several fundamental problems in the theory of nonlinear expectations, such as the structures and properties of stochastic processes, the error estimates of normal approximations, etc. .Nonlinear expectations is an emerging field in probability theory, which has a very good prospect in both theoretical research and practical application.

本项目旨在研究非线性期望理论及其应用. 非线性期望是经典的线性期望的推广，是最近十几年发展起来的概率论的一个重要分支，在金融经济领域也有着重要的应用. 在Wiener概率空间中，通过经典的Feynman-Kac公式和倒向随机微分方程，只能对线性和拟线性的偏微分方程给出概率解释. 彭实戈院士引入非线性期望的动机之一是通过概率方法研究完全非线性的偏微分方程，亦即把对偏微分方程的研究等价的转换为对非线性期望下倒向随机微分方程的研究. 后者是本项目的主要研究内容之一. 为此，我们首先需要解决非线性期望理论中的一些基础性的重要问题，比如随机过程的结构与性质，正态逼近的误差估计等等. 非线性期望理论是概率论中一个方兴未艾的方向，不管是在理论研究还是在实际应用方面，这一领域都有非常好的发展前景.

本项目旨在研究非线性期望理论及其应用.非线性期望是经典的线性期望的推广，是最近十几年发展起来的概率论的一个重要分支.彭实戈院士引入非线性期望的理论框架主要有以下两方面的动机:1)研究金融经济中的“波动率不确定”模型;2)通过概率方法研究全非线性的偏微分方程(PDE)..项目主要研究内容包括:非线性期望下随机过程的结构及性质;非线性期望下的Stein方法;非线性期望下的倒向随机微分方程(BSDE)与全非线性PDE;非线性期望在随机最优控制中的应用..项目组成员在非线性期望理论的多个领域取得重要进展:. (1)证明了非线性伊藤过程分解的唯一性.基于此,定义了路径依赖PDE的弱解,并建立了其与非线性期望下的BSDE之间的一一对应.. (2)建立非线性期望下的Stein方法,给出非线性期望下中心极限定理和大数定律的收敛速度.. (3)证明了几类重要的BSDE的适定性,包括非线性期望下带双边反射的BSDE,终端条件无界的二次增长BSDE,时变Lipschitz条件下的BSDE等等.. (4)利用非线性期望理论,研究了不确定环境下随机最优控制问题的动态规划原理和最大值原理,等等..这些成果得到了国内外同行的积极评价.. 彭实戈院士(Peng(2017))称非线性伊藤过程分解的唯一性是一个重要的公开问题.审稿人称成果(1)是“a deep and fundamental problem (深刻且基本的问题)”,“a challenging problem (具有挑战性的问题)”, “an important breakthrough (重要的突破)”.. 彭实戈院士2007年证明了非线性期望下的中心极限定理(CLT) 和大数定律 (LLN), 但其收敛速度的研究很长时间未获进展.审稿人认为成果(2)“are novel, one can even say milestones (里程碑) ”. . 在非线性期望下,建立了BSDE与一类全非线性PDE之间的一一对应.非线性期望下BSDE的研究,为概率方法研究全非线性PDE提供了理论基础.不确定环境下随机最优控制理论的研究,是非线性期望理论的一个重要应用,在金融经济领域有很好的应用前景.