分形市场中分数阶导数期权定价模型的建立、解法与应用研究

Option pricing is one of the key problem for financial engineering research.The project takes a Black-Scholes equation with fractional derivative as a model. It applies the theories and methods of fractional calculus and fractional partial differential equation to study the pricing problem. Firstly, European and American option pricing models based on the fractional Black-Scholes equation are constructed and solved. Using asymptotic analysis, numerical simulation and application research, the feasibility and effectiveness of the fractional derivative model are studied. Secondly, fractional derivative model are derived and solved under the situations of mixed fractional Brown motion, stochastic interest rates and transaction costs. Finaly, fractional derivative model is introduced to warrants market. Warrants pricing model with fractional derivative is etablished. The application researches are made based on market data. Comparison analysis explains the adaptation and superiority of fractional derivative model. The project reflects that the modern mathematical methods and the modern finance theory promote and develop each other. The results present new ideas, tools and methods for the theoretical research of financial derivatives pricing.

期权定价问题是金融工程研究的核心问题之一。本项目以带有分数阶导数的Black-Scholes方程为模型，利用分数微积分和分数阶偏微分方程的理论和方法研究定价问题。首先，构建基于分数阶Black-Scholes方程的欧式和美式期权定价模型并求解，采用渐近分析、数值模拟和应用研究方法，探讨分数阶导数模型的可行性和有效性；其次，分别考虑混合分数布朗运动、随机利率和交易成本的情境，推导相应的分数阶导数模型并求解；最后，将分数阶导数模型引入权证市场，建立分数阶导数权证定价模型，针对市场数据进行应用研究，运用比较分析说明分数阶导数模型的适用性和优势。本项目体现现代数学方法和现代金融理论相互促进和发展，其结果为金融衍生品定价理论的研究提供新的思路、工具和方法。

2015年2月9日，50ETF期权在上海证券交易所正式上市交易，我国内地市场进入期权时代。期权，这一灵活的金融衍生品受到国内外金融市场的青睐，其定价问题一直以来是金融与数学研究领域的重要课题。基于金融市场的真实数据，利用先进的数学工具建立有效的定价模型，对期权等金融衍生品的定价问题的研究具有重要的理论价值和现实意义。本项目在已有研究的基础上，以带有分数阶导数的Black-Scholes方程为模型，利用分数微积分和分数阶偏微分方程的理论和方法研究定价问题。首先，基于时间分数阶Black-Scholes方程构建欧式期权定价模型，依据模型制定求解框架，利用改进的求解方法获得时间分数阶模型的近似解，利用50ETF期权和权证数据对模型进行分析；引入交易费，利用复制技术建立时空分数阶Black-Scholes欧式期权定价模型并进行实证分析；进一步地，建立分数布朗运动下带有交易费用和随机利率的欧式期权定价模型，给出定价公式，利用50ETF期权和国债逆回购数据对模型进行检验；采用Caputo导数定义，利用对冲组合建立时空分数阶Black-Scholes方程并进行实证分析。实证研究表明，金融市场存在分形特征，本项目将数学方法和金融理论有机地结合解决现实的金融问题，应用实例说明分数阶导数模型可以对金融市场的分形特征进行深层次的检验。本项目在实现期权定价模型求解的同时推进解法的改进和应用，为期权市场尤其对我国内地期权市场的发展提供有效的工具和建设性意见。本项目力求为金融衍生品定价及其相关问题的研究提出新的思路、工具和方法。