复微分方程的亚纯解和偏微分方程的rogue wave解

Differential equations play important roles in mathematics (e.g. defining special functions) and physics (e.g. celestial motion). For many applications, exact solutions of these differential equations may provide crucial information or explanations to them. However, constructing exact solutions in general is quite difficult, and so it is also very important to study properties of solutions, e.g. the growth of them. In this research proposal, we focus on the following four questions on meromorphic solutions of differential or difference equations and rogue wave solutions of some partial differential equations: .(1) Construct all meromorphic solutions of a third order algebraic differential equation with physical background. .(2) Classify all meromorphic solutions of certain difference equations and thus generalize Eremenko's result on the classification of meromorphic solutions of certain differential equations to difference equations. .(3) On the growth of meromorphic solutions, verify that second order factorizable algebraic differential equations satisfy Hayman's conjecture. .(4) Construct rogue wave solutions of a coupled "AB" system.

微分方程在数学（如特殊函数的构造）和物理（如天体的运动）等学科中起着非常重要的作用。在应用方面，很多问题的关键之处就是构造微分方程的精确解。不过，一般来讲，构造精确解相对比较困难，所以对方程的解的性质的研究也非常重要，比如解的增长性。本项目针对代数微分方程、差分方程的亚纯解和偏微分方程的rogue wave解研究以下四个问题：.（1）构造一个具有物理背景的三阶代数微分方程的所有亚纯解。.（2）对一类差分方程的所有亚纯解进行分类，即将Eremenko对某些代数微分方程亚纯解的分类推广到差分方程。.（3）关于亚纯解的增长性，验证可分解的二阶代数微分方程满足Hayman猜想。.（4）构造耦合AB系统的rogue wave解。

本项目重点研究非线性常微分方程亚纯解的分类和构造以及可积偏微分方程精确解的构造等问题。我们首次提出非线性可分解Loewy微分方程，并对其亚纯解进行了深入研究，包括高阶情况亚纯解的分类、二阶情况亚纯解的构造，我们还验证了这些解均满足Hayman在1996年提出的关于代数微分方程亚纯解增长性的猜想。利用推广的Wiman-Valiron理论和Painlevé分析，我们对某类三阶微分方程的亚纯解进行了分类和构造，并讨论了其在流体力学，特别是Falkner-Skan方程中的应用。同时，我们还对classical Boussinesq–Burgers方程、非局域Kundu-NLS方程和非局域Mel’nikov方程的孤子、lump和半有理解进行了深入的研究。本项目的工作对复微分方程亚纯解和可积偏微分方程精确解的研究进行了重要的拓展。