非线性演化方程的数值方法研究及在生物模型上的应用

本项目主要是针对与一系列目前流行的生物模型相关的各种非线性演化方程，发展新型数值方法，进行深入系统的研究。本项目中涉及的模型问题可分为二大类：输运类问题和对流扩散类问题。人们对它们的数学性质的认识至今为止是非常有限的。输运类模型方程是极其高维的，方程含复杂的积分源项、密度函数保正值；对流扩散类模型方程是高度非线性、密度函数保正值；而且，边界条件与密度函数在整个区域上的积分有关。这给设计高效、可靠的数值方法带来很大的困难。本项目将以间断Galerkin有限元方法和加权本质无振荡方法为基础，围绕生物模型中物理量的特殊性质以及本项目中非线性演化方程的特点，设计新型数值方法，对模型进行数值模拟，开展理论与数值研究，提高对生物模型的数学性质和物理内涵的认识，改进模型，更好地反映生物演化规律。

本项目主要研究随机游走生物模型和高维生物竞争系统模型，以及基于目前一些流行的数值方法的新型数值方法的构造与发展。. 随机游走生物模型描述在适当环境中单细胞细菌种群密度随时间的变化，反映单细胞生物（如细菌）的集体运动行为。对于遵循布朗运动过程的随机游走，我们得到了模型的能量估计，证明了方程解的保正性。对该模型，分别构造了DG方法、我们提出的一种基于解在格点值的Lax-Wendroff时间离散有限差分WENO方法、以及不仅能够使数值解保正，且不破坏精度的保正方法，同时进行了数值研究。. 具有生态链结构的高维生物竞争系统模型刻化了具有单生物链结构或生物活动区域具有分层的竞争现象。我们分别研究了相应系统的动力学性质与系统的结构稳定性。将著名数学家J.Hale等的二维生物竞争系统的结论完整推广至高维时间依赖的情形，并获得十分有趣的生物学解释。同时，将著名数学家Mallet-Paret与Smith关于循环负反馈系统的理论做了进一步深化，并部分回答了该系统的结构稳定性。对具有三角对角结构的竞争反应-扩散方程组的单调行波解的存在性做了深入研究。此外，我们还对于非紧拓扑群作用下的单调的非自治系统，证明了关于稳定1-覆盖不变集的群对称性及群单调的二择一定理，应用于几乎时间周期抛物方程(组)的双稳行波解，证明了双稳行波解单调性与稳定性的等价性。. 针对守恒律方程，我们发展了一种守恒的有限差分WENO方法。通过对解和它的各阶导数进行WENO插值来构造数值流函数。该方法对于标量方程，可以使用任意的单调流函数；对于方程组，可以使用任意的Riemann近似解算子；在曲线坐标上，格式能够保持自由流。此外，将近几年发展起来的高精度差分格式CPR方法与WENO限制器相结合，有效地控制间断处的数值振荡，同时保持了CPR格式的优势。. 上述工作主要发表在SIAM Journal on Scientific Computing，SIAM Journal on Mathematical Analysis等相关专业国际高水平刊物上。在项目执行期间，共发表论文6篇、接受发表2篇。培养博士毕业生2人，硕士毕业生1人，出站博士后1人。