生物演化模型的两类非局部偏微分方程（组）解的数值方法研究

Biological evolution models play an important role in exploring the evolution and development of population. For two kinds of nonlocal partial differential equation(s) in there, this project will carry out the following investigations. . For a competition-mutation equation with a gradient flow structure, the project intends to design, analyze and numerically validate energy dissipating finite volume schemes. The existence and uniqueness of the discrete positive steady state will be proven and it can be produced by an independent solver. Discrete schemes are demonstrated to satisfy positivity of numerical solutions and energy dissipation. These ensure that the positive steady state is asymptotically stable. . For a model of competition for resource through a chemostat-type model, when the timescale is fixed, a finite volume type approximation gives semi-discrete and fully discrete schemes. The existence and uniqueness of discrete ESD (Evolutionary Stable Distribution) will be proved and the efficient computation of the ESD can also be carried out by independent solver. Semi-discrete and fully discrete schemes are shown to satisfy the positivity and entropy dissipation inequalities under appropriate conditions on discrete coefficients and time steps. When the timescale tends to zero, the discrete schemes for resource-competition model will be proven to converge to those for a direct competition model. . A series of numerical tests for the two kinds of model is provided to demonstrate both the accuracy and the entropy satisfying property, and numerical results underline the efficiency to capture the large time asymptotic behavior of numerical solutions.

生物演化模型对研究种群进化发展有着重要作用。针对其中的两类非局部偏微分方程（组）的数值解问题，本项目拟开展以下研究：. 对于具有梯度流结构的选择突变方程，拟设计、分析和数值实施能量耗散的有限体积格式。证明离散正平衡态的存在唯一性并建立其独立的数值求解方法，证明离散格式满足数值解的正性和能量耗散性。这些性质将保证唯一正平衡态的渐近稳定性。. 对于恒化型的资源竞争模型，给定时间尺度参数时，利用有限体积型逼近给出这类模型的半离散和全离散数值格式。证明离散 ESD（演化稳态分布） 的存在唯一性并建立计算 ESD 的独立算法。在离散系数和时间步长合适的条件下，证明半离散和全离散格式保持数值解的正性和熵递减性质。当时间尺度参数趋于 0 时，通过渐近分析证明资源竞争模型离散格式收敛到直接竞争模型的离散格式。. 最后，利用数值实验展示两类模型数值格式的准确性、能量（熵）递减性以及解的大时间渐近性。

生物演化模型对研究种群进化发展有着重要作用。针对其中的两类非局部偏微分方程（组）的数值解问题，本项目开展了以下研究：. 对于具有梯度流结构的竞争突变方程，设计、分析和数值实施能量耗散的有限体积格式。证明离散正平衡态的存在唯一性并建立其独立的数值求解方法，证明离散格式满足数值解的正性和能量耗散性。这些性质保证了唯一正平衡态的渐近稳定性。给出一些数值实验展示数值格式的准确性、能量耗散性以及解的大时间渐近性。同时数值上证明带小突变模型的数值解趋近于相应直接竞争模型的数值解。. 对于恒化型资源竞争模型，本项目已取得了一些研究成果，包括给出离散 ESD 和离散相对熵的定义、从提供大时间收敛数值解的角度证明数值格式满足正性和熵耗散性质。项目负责人正将这部分研究结果整理成文。. 此外，针对随机电磁学和统计放射物理学中有着重要应用的具有乘性噪声的三维随机麦克斯韦方程，通过时间上使用随机辛算法和空间上使用小波配置方法，本项目提出了求解这类方程的随机多辛能量守恒方法。通过数值实验验证所提出的方法在提供精确解和保持能量方面的优越性。.