两类非局部方程孤波解的存在性、稳定性及其动力学行为研究

The solitary wave theory of nonlinear differential equations is one of novel and important research topics in the field of differential equations. This project aims to systematically study the existence, stability and dynamic behavior of solitary wave solutions for two types of nonlinear nonlocal differential equations originated in physics by using the method of nonlinear analysis, and to explore the effects of the nonlocal term. The key is to firstly study the existence and dynamics of hylomorphic solitons (a type of stable solitary wave solutions) for these two types of nonlocal equations, establishing dynamic equations and analyzing its nature of mathematics. Secondly, we study the existence of vortex (a type of solitary wave solutions with non vanishing angular momentum) for these two types of equations, establish the existence theorem and explore the formation mechanism of vortex. Furthermore, we study the existence and stability of standing wave solutions (a type of finite energy solitary wave solutions) for nonlocal equations in higher dimensions and explore the relationship between the dimensions and the existence of standing wave solutions. In this project, our goal is to have the distinctive research thoughts and system through our efforts, and the obtained results can further enrich the theory of differential equations and dynamical systems, also can promote the development of some related disciplines such as physics, possessing highly theoretical value and practical significance.

非线性微分方程的孤波理论是微分方程领域新颖而又重要的研究课题之一。本项目旨在运用变分方法等非线性分析工具，较为系统地研究两类起源于物理学中的非线性非局部方程孤波解的存在性、稳定性及其动力学行为，探索非局部项对方程的孤波解所产生的影响。重点是研究这两类非局部方程原质形式孤子（Hylomorphic solitons, 一类稳定的孤波解）的存在性及其动力学性质，建立动力学方程，剖析其数学本质；研究方程存在涡旋（一类具有非平凡角动量的孤波解）的充分性条件，建立存在性定理，探究涡旋的形成机理；研究高维度情形下非局部方程驻波解（一类具有有限能量的孤波解）的存在性与稳定性，探索空间维度与驻波解的存在性之间的关系。我们的目标是经过努力，初步形成有一定特色的研究思路和体系，所产生的研究成果能够进一步丰富微分方程与动力系统理论，同时也能够促进物理学等相关学科的发展，具有较高的理论价值和现实意义。

非局部微分方程是近年来微分方程领域重要的研究对象之一。本项目通过运用非线性分析方法，系统研究了几类具有强物理背景的非局部微分方程孤波解的存在性、稳定性及其动力学行为。重点研究了三维空间中非自治薛定谔-泊松系统驻波解的存在性与多解性及其动力学行为，探索了位势或加权函数对解的存在性的影响。主要包括当非线性项为幂函数形式（幂次介于2与4之间）时系统正驻波解或变号驻波解的存在性、多解性与有界性。研究了基尔霍夫型方程正解的存在性与多解性，探索了非局部项对方程个数的影响。主要包括三维以上空间带有深势阱和幂函数形式的基尔霍夫型方程正解的存在性与多解性。此外，本项目还研究了非线性双调和方程非平凡解的存在性与多解性及其性质的刻画；研究了拟线性薛定谔方程基态解的存在性；研究了具有间接食饵趋化的Gause-Kolmogorov 捕食食饵系统的稳定性与Hopf分支。研究成果以论文形式呈现，共发表（录用）SCI论文27篇，其中部分成果发表在JDE、Nonlinearity、JDDE、DCDS、CCM等国际知名数学期刊上。此外，以本项目为依托，结合前期工作基础，项目负责人获得2018年度山东省自然科学二等奖（第1完成人），获批2020年度山东省杰出青年基金资助。通过本项目的研究，已初步形成有一定特色的研究思路和体系，所产生的研究成果进一步丰富了微分方程与动力系统理论，同时也促进了物理学等相关学科的发展，具有较高的理论价值和现实意义。