组合同余式的机器证明

The theory of congruence is an important research area in both combinatorics and number theory. In recent years, with the aid of the theory of modular forms, K. Ono and other researchers have made a significant breakthrough in the congruence properties of partition functions. Z.W. Sun and others studied the congruence properties of combinatorial sequences and their sums. Many conjectures are also proposed. Nowadays, the topic of proving and finding combinatorial congruences attracts increasing attention in the field of combinatorics and number theory. Many well-known experts including G.E. Andrews are concerned about the progress of this topic... In this project, we mainly study the congruence properties of combinatorial sequences and their sums by using of the idea of computer proofs. This is in line with the current trend of mathematical study. The specific contents are as follows... (1) We will study the congruence properties of the generalized Frobenius partition functions, overpartition functions and l-regular partition functions. .. (2) We will study the congruence properties of the P-recursive sequences as well as their sums... (3) We will further explore the systematic method of searching and proving combinatorial congruences.

同余理论是组合学与数论中的一个重要交叉研究领域。近些年来，K. Ono等人利用模形式理论研究分拆函数的同余性质并取得了重大突破，孙智伟等人考察了常见组合序列及其和式的同余性质并提出了大量猜想。目前，组合同余式的证明与发现得到了包括美国科学院院士G.E. Andrews教授在内的世界知名学者们的关注和重视，是当今组合数论界的一个研究热点。.. 本项目主要利用机器证明思想研究组合序列及其和式的同余性质，符合当下数学研究的发展趋势。具体内容包括：.. （1）研究推广的Frobenius分拆函数、overpartition函数和l-regular分拆函数的同余性质。.. （2）研究常见P-递归组合序列及其和式的同余性质。.. （3）基于上述内容，进一步研究发现和证明组合同余式的系统化方法。

组合序列的相关恒等式和同余式与众多数学分支都有密切联系，一直是组合数学的重要研究对象。近些年来，模形式和theta函数理论被用于分拆函数同余性质的研究中并由此取得了重大进展。孙智伟等人研究了常见组合序列和式的同余性质并提出了大量猜想。目前，这一研究领域得到了研究者的广泛关注，是当前代数组合学的重要研究课题之一。. 本项目旨在利用模形式研究分拆函数的同余式，并结合机器证明方法，开展组合序列及其和式的同余性质的相关研究。本项目主要进展如下：.（1）我们研究了美国科学院院士G.E. Andrews等人提出的m-array分拆函数的同余性质，将限制m-array分拆函数模素数m幂次的同余式推广到一般自然数m的幂次上，从而解决了G.E. Andrews等人提出的一个公开问题。.（2）我们利用Winquist等式给出了11-正则分拆函数模11的一个无穷族同余式。此外，我们还利用模形式理论中的特征形得到了3-正则、13-正则和25-正则分拆函数的相应同余式。.（3）我们将形式留数与扩展Zeilberger算法相结合，给出了证明含有两类Stirling序列相关恒等式的一个系统化方法。该方法还可用于证明其他非超几何序列的相关恒等式。